現在２０２２年４月２４日８時４７分である。（この投稿は、ほぼ４００４文字）
麻友「随分早い時間ね」
私「昨日、宝塚の自然数というものを定義し、これはもう、役目を終えたと書いた」
若菜「そうでしたね」
私「でも、宝塚の自然数には、まだ使い道があることに、気付いた。具体的に言うと、新しい自然数の、 は、
と、定義された。でも、これの足し算、
などの定義は、行えていない」
麻友「ちょっと。質問は、いつしても良いのよね」
私「もちろん良いよ」
麻友「集合を書くとき、 とか、
とか、使っているじゃない。それの意味は？」
私「そういう風に、疑問に思ったとき、恥ずかしがらず、質問するのは、とても良いことだ。この、 や、
は、外延記号と言って、
と書いたら、 と
が入っている集合を、表していることになってる」
麻友「 と、書いたりもするじゃない」
私「そう。正の偶数の集合みたいに、無限個、元がある場合、そういう書き方もする」
若菜「どうして、外延（がいえん）って、言うんですか？」
私「これ、extension の訳語として、哲学者西周（にし あまね）が造った言葉で、例えば、金属という概念の外延は、金、銀、銅、鉄、みたいに、概念を構成するものを、具体的に全部挙げるということなんだ。これの逆は、内包（ないほう）と、言い、具体的に全部を挙げたりせず、共通の性質、つまり上の例なら、金属と、言うことなんだ」
若菜「そうすると、数学では、外延にも、内包にも、外延記号を使っているということですか？」
私「実は、そうなんだ」
結弦「また、抽象的な話になっちゃって。問題を解こうよ」
私「そうだったな。問題持ってこよう」
結弦「分数は、まだ定義してない。でも、上の６問は、解ける」
私「ここで、宝塚の自然数が、使えるんだ」
麻友「これを、やりたかったのね。トレーニング３の（１）は、
で、
は、
のことだから、
よね」
若菜「は、
だから、
ですね」
結弦「それで、 だ」
麻友「 の省略記号は、
だから、
が、答えよ。あらっ、太郎さん。プラスを付けてない」
私「 なんて、プラスを付けるのは、中学生か、特に、符号に意味を持たせたい場合だけだよ」
若菜「特に符号に意味を持たせたい場合って？」
私「例えば、 みたいに、『本当にプラスだぞ』と、強調したいときとか」
若菜「あー、なるほど」
麻友「そうすると、 でも、
でも、いいわけね」
私「うん」
結弦「（３）は、自然数から、はみ出している」
若菜「整数に、守備範囲を広げないと」
麻友「宝塚の自然数は、整数を、定義できてる」
若菜「座標を使うんですよね。どうして、座標の集合による定義のとき、
定義 ４６ 順序対
順序対（座標）は、 を、
という集合と、定義する。
定義 ４６ 終わり
と、順序対（じゅんじょつい）と言ったのですか？」
私「説明しなかったけど、
という集合は、非順序対（ひじゅんじょつい）と言うんだ。 と、
を交換しても、集合として同じだから、順序に拘らない対という意味なんだ」
結弦「 ということ？」
私「そういうことだ」
麻友「だとすると、順序対の方は、 ということなのね」
結弦「座標だったら、当然だけど」
若菜「 なら、
かつ、
でなければ、ならないはずです」
私「定義に戻って、確かめてごらん」
若菜「 とします。定義により、
です。左辺同志が等しいので、右辺同志も等しく、
です」
若菜「ここから、まず、 と、
が、等しかったとします。そうすると、２つの集合が等しいということは、中身が等しいということですから、
です。このとき、
ならば、左辺は、
となり、元は１個です。右辺は、
ですから、
です。左辺と比べると、
です。元の個数が、１個ということは、 の場合しか有り得ません。よって、
と、
が等しいときは、
ならば、
で、特に、
かつ
です」
若菜「次に、 と、
が 等しいけれども、
ではないとします。この場合、
と、
は、異なります。特に、前者は、元を１個持ち、後者は、元を２個持ちます。よって、等号が成り立つ以上、
と、
でなければ、なりません。前者から、
が、そして、
と、
が、異なるので、元の個数から、
と、
も、異なり、それより、後者から、
が、分かります。
若菜「最後に、 と、
が、等しかったとしてみます。元の個数が、１つのはずですから、
でなければなりません。このとき、
は、
となってますから、
で、
と、なります。元が１個であるためには、 でなければなりません。
よって、 であり、特に、
かつ、
です。
以上で、
の、すべての場合に、
かつ
であることが、証明されました。証明終わり」
結弦「お姉ちゃん、大丈夫？」
若菜「お父さん、引き取ってくれないんだもの」
麻友「かなり、衰弱してるわね。太郎さん、こんな長い、論理だけが頼りな証明、読んでて分かってるの？」
私「これくらいの証明が、普通にできないようじゃあ、ブルバキなんて読めない。鍛えるために、止めなかった」
麻友「ミルカさんって、そんなのに、耐えられる人なの？ 私、願い下げよ」
私「数学の醍醐味は、証明が、完全に終わったときの達成感なんだけどなあ」
結弦「でも、そんなの、１日で、終わらないでしょ」
私「私に取って、ゲーデルの第一不完全性定理の証明は、ほぼ１年かかって、登攀した」
麻友「慣れるものなの？」
私「完全に、慣れの問題だよ」
麻友「いずれにせよ。今日は、ここまでにして」
私「分かった。バイバイ」
結弦「バイバイ」
麻友「バイバイ」
若菜「証明、完成してるわよね・・・」
現在２０２２年４月２４日１５時２２分である。おしまい。
