現代論理学（その３８） - １から始める数学

　現在２０２２年８月１３日８時５０分である。（この投稿は、ほぼ７７９４文字）

麻友「太郎さん。８月９日に、ドラえもんのブログで、連分数を、計算するまで、２つのウィンドウを、並べて、一方を見ながら、他方に書き取ることができること、知らなかったの？」

私「一方に、フォーカスを当てると、もう一方が、隠れちゃうと、思ってた」

結弦「２０世紀の人間だよ。今、２１世紀になって、２２年も経ってるのに」

若菜「一方から他方へ、書き取るとき、どうしていたんですか？」

私「タブの使い方は、知ってたんだ。だから、コピペで、移していたんだ。或いは、一方のを覚えて、記憶を頼りに、他方に書くとか」

麻友「それが、ウルフラムアルファで、計算した、 ${\sqrt{3}}$ の値なんかを、覚えきれなくて、ウィンドウを、２つ立ち上げて、並べる方法を、探したのね。マニュアルを見た？」

私「『ウィンドウを並べるには？』と、ググった。他のウィンドウにしたいタブを長押しして、『タブを別のウィンドウに移動』を、タッチ、タスクバーの空いているところを長押しして『ウィンドウを左右に並べて表示』を、タッチすると、ウィンドウが、並ぶ」

麻友「太郎さん、Windows 1 使ってたんじゃない？」

結弦「単数なら、Window 1 だ」

若菜「あんまり、いじめると、反撃されるわよ」

私「『帝国の逆襲』だ。前回『現代論理学（その３７）』で、重要なことを、やった。覚えているかな？」

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麻友「そうすると、

${p_1 \Rightarrow p_2, p_1 \longrightarrow p_2}$

は、

${((p_1 \Rightarrow p_2) \wedge p_1) \Rightarrow p_2}$

と、ひとつの論理式になる」

若菜「でも、変だと思いません？　 ${\Rightarrow}$ は、真偽表で、定義されたものでした。でも、 ${\longrightarrow}$ は、『よって』という推論の式のものでした。それを、同じものにしてしまうなんて」

私「矢印が出て来るたびに、悩んだ。この矢印のジレンマを解消してくれたのは、ブルバキだった。 ${\vee\neg}$ を、 ${\Rightarrow}$ と表す。つまり、 ${(\neg A)\vee B}$ を、 ${A \Rightarrow B}$ と表すと、定義して以来、一度として、他の矢印を、使わない。結局、ひとつで良かったのだと、安心した。ただ、他の本を読むときは、その本に従わねばならない」

結弦「この場合は、 ${\longrightarrow}$ は、 ${\Rightarrow}$ で、定義されているということ？　それで、これが、正しいというのは、どういうときなの？」

麻友「トートロジーでしょ」

若菜「あっ、真偽表か」

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　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（『現代論理学（その３７）』より）

私「ここまで、分かっているかな？　いくつかの仮定（例えば、 ${(p_1 \Rightarrow p_2) }$ と、 ${p_1}$ ）から、１つの結論（この場合、 ${p_2}$ ）が、得られるということを、考える。まず、 ${(p_1 \Rightarrow p_2)}$ と、 ${p_1}$ の両方ともが、真のときのみ真である、 ${((p_1 \Rightarrow p_2) \wedge p_1)}$ という命題を考える。この仮定（ ${((p_1 \Rightarrow p_2) \wedge p_1)}$ ）が、真であるとき、結論が、偽だったら、成り立たず、仮定が、真であるとき、結論も、真であったら、成り立つ。そして、仮定が、偽だったら、結論は、真でも偽でも良い、ということを、表したい。それを、 ${\Rightarrow}$ という論理記号を、用いて、 ${((p_1 \Rightarrow p_2) \wedge p_1) \Rightarrow p_2}$ と、ひとつの論理式で、表した。そして、これがトートロジーなら、この推論は、正しいとするんだ。これが、トートロジーという体系だ」

麻友「この後、実際に真偽表を、埋めていったのよね」

私「ついてこられていた？」

若菜「 ${1}$ と、 ${0}$ が、チラチラして・・・」

私「落ち着いて、ひとつひとつ入れていってごらん」

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麻友「トートロジーでしょ」

若菜「あっ、真偽表か

${((p_1 \Rightarrow p_2) \wedge p_1) \Rightarrow p_2}$
${~~~1~~~~~~~~1}$

とやって、

${((p_1 \Rightarrow p_2) \wedge p_1) \Rightarrow p_2}$
${~~~1~~~~~~~~1}$
${~~~1~~~~~~~~0}$
${~~~0~~~~~~~~1}$
${~~~0~~~~~~~~0}$

で、この後どうすれば、いいのかしら？」

麻友「他にも、 ${p_1}$ や、 ${p_2}$ がある。

${((p_1 \Rightarrow p_2) \wedge p_1) \Rightarrow p_2}$
${~~~1~~~~~~~~1~~~~~~~~1}$
${~~~1~~~~~~~~0~~~~~~~~1}$
${~~~0~~~~~~~~1~~~~~~~~0}$
${~~~0~~~~~~~~0~~~~~~~~0}$

とできる」

若菜「あっ、そうか、

${((p_1 \Rightarrow p_2) \wedge p_1) \Rightarrow p_2}$
${~~~1~~~~~~~~1~~~~~~~~1~~~~~~~~~~~1}$
${~~~1~~~~~~~~0~~~~~~~~1~~~~~~~~~~~0}$
${~~~0~~~~~~~~1~~~~~~~~0~~~~~~~~~~~1}$
${~~~0~~~~~~~~0~~~~~~~~0~~~~~~~~~~~0}$

なんだ」

結弦「ここから、論理記号の下に、◯✕付け始める。

${((p_1 \Rightarrow p_2) \wedge p_1) \Rightarrow p_2}$
${~~~1~~~1~~~~1~~~~~~~~1~~~~~~~~~1}$
${~~~1~~~0~~~~0~~~~~~~~1~~~~~~~~~0}$
${~~~0~~~1~~~~1~~~~~~~~0~~~~~~~~~1}$
${~~~0~~~1~~~~0~~~~~~~~0~~~~~~~~~0}$

恐ろしい」

麻友「どうかな。

${((p_1 \Rightarrow p_2) \wedge p_1) \Rightarrow p_2}$
${~~~1~~~1~~~~1~~~~1~~~1~~~~~~~~~1}$
${~~~1~~~0~~~~0~~~~0~~~1~~~~~~~~~0}$
${~~~0~~~1~~~~1~~~~0~~~0~~~~~~~~~1}$
${~~~0~~~1~~~~0~~~~0~~~0~~~~~~~~~0}$

うん」

若菜「ロシアンルーレットなんて、心臓に悪いですよ。

${((p_1 \Rightarrow p_2) \wedge p_1) \Rightarrow p_2}$
${~~~1~~~1~~~~1~~~~1~~~1~~~1~~~1}$
${~~~1~~~0~~~~0~~~~0~~~1~~~1~~~0}$
${~~~0~~~1~~~~1~~~~0~~~0~~~1~~~1}$
${~~~0~~~1~~~~0~~~~0~~~0~~~1~~~0}$
${~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\uparrow}$ ココ

うわっ。前件が真で、後件も真なら、 ${\Rightarrow}$ は、真。一方、前件が偽（つまり、 ${0}$ ）なら、常に真（つまり、 ${1}$ ）だから、全部、『ココ』のところに、 ${1}$ が、並んで、トートロジーです」

＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（『現代論理学（その３７）より）

麻友「ここまでで、３７３６文字。そんなに書いたかしらね？」

私「 ${\TeX}$ のコードを打つと、もの凄く、文字数食うんだ」

若菜「『現代論理学』の本文は？」

私「こう続く、

＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊

　以下に，今後しばしば用いられるトートロジーを一括して掲げておこう．これらが恒真式であることは，（今の場合）実際に真理値を計算することによって確かめられる．( ${A,B,C}$ は任意の論理式を表わす．)

１） ${A \Rightarrow A,A \equiv A}$ 同一律（law of identity）

２） ${A \vee \neg A}$ 　排中律（law of the excluded middle）

３） ${\neg (A \wedge \neg A)}$ 　矛盾律（law of contradiction）

４） ${\neg(\neg A) \equiv A}$ 　二重否定律（law of double nagation）

５） ${A \wedge A \equiv A}$ 　連言の巾等律（idempotent law）

６） ${A \wedge B \equiv B \wedge A}$ 　連言の交換律（commutative law）

　　　・
　　　・
　　　・

＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
　　　　　　　　　　　（『現代論理学』p.11 より）

と、２６番まであるのだけど、今すぐ２６番まで必要ではない。追い追い、使わなければならないとき、真偽表書いて、証明するので良いと思う」

麻友「そうだとすると、これは、証明しろと？」

私「いや、真偽表を使うというのは、いよいよ、どうしようもなくなったときには、そういう手があるよ、というだけで、もっと、便利でコンパクトな手も、あるんだ。そうは、言っても、上の式は、どれも、当たり前だと思えるだろう？」

若菜「排中律とか、二重否定律とかって、直観主義論理では、正しくなかったと思います。このトートロジーという体系は、古典論理なのですか？」

私「高校３年生で、その質問ができれば、数学科でも、優秀な学生だ。生化学へ行ってしまうのは、もったいないくらいだ」

結弦「直観主義論理にも、推論式みたいなものを、考えられるの？」

私「考えられる。 ${\mathbf{LJ}}$ というもので、そこでは、

${p_1 \longrightarrow \ p_1}$

から、

${ \longrightarrow p_1 ~\neg p_1}$

みたいに、仮定なしに、 ${p_1 \vee \neg p_1}$ が、証明できそうになるのだけど、 ${\mathbf{LJ}}$ では、右辺に、論理式を２つ以上持って来てはいけない、というルールがあり、排中律は、証明できないんだ」

若菜「直観論理は、嫌い？」

私「古典論理にも、推論式みたいな、シークエントというものを扱う、 ${\mathbf{LK}}$ というものが、あるんだけど、推論の構造を調べるのには、便利なんだけど、実用的でないのね。私は、直観論理も、その ${\mathbf{LK}}$ で、右辺に２個論理式を持ってこないものを、 ${\mathbf{LJ}}$ とすると、習ったんだけど、実用的でないから、大っ嫌いだった」

麻友「転機が？」

私「 ${\mathbf{LK}}$ を経ずに、 ${\mathbf{NJ}}$ という自然な推論の直観主義論理バージョンを知って、見方が変わった。ただまあ、正しい、正しくない、の古典論理の方が、平和だよ」

結弦「まず古典論理では？」

私「 ${A}$ というのを、『 ${A}$ が成り立っている』とする。そして、 ${A}$ の否定、つまり ${\neg A}$ が、『 ${A}$ が成り立たない』とする。これで済むので、気持ちが楽だ」

結弦「直観主義論理では？」

私「 ${A}$ というのを、『 ${A}$ を確認する方法を持っている』とするので、その否定 ${\neg A}$ が、『 ${A}$ を確認する方法を持っていない』という消極的なもので、済ますわけに行かなくなる。『 ${A}$ を確認できない』または、『 ${A}$ を確認できないことを確認する方法を持っている』とか、『 ${A}$ を確認する方法を持っていない、というばかりでなく、もし ${A}$ を確認する方法を手にしたら、あらゆることを確認する方法を作る方法を持っている』ということに、なるのだ」

若菜「変な論理かも知れませんが、 ${\mathbf{NJ}}$ で、証明できたものは、全部、 ${\mathbf{NK}}$ で、証明できるんじゃなかったでしたっけ」

私「ああ、そうだな。 ${\mathbf{NK}}$ で、証明できることを、目指しているんだから、 ${\mathbf{NJ}}$ なんて、放っておいて良いんだな。若菜、良いこと言った。ありがとう。そういえば、ハーパーの『生化学（第３２版）』原書が８月５日に発売されたぞ。それと、杉山忠一『英文法詳解』７月２８日に復刊されたぞ」

Harper's Illustrated Biochemistry, Thirty-Second Edition (English Edition)

作者:Kennelly, Peter J.,Botham, Kathleen M.,McGuinness, Owen,Rodwell, Victor W.,Weil, P. Anthony
McGraw Hill / Medical

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英文法詳解新装復刻版

作者:杉山忠一
学研プラス

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若菜「この１万２千円もする洋書は、なかなか、手が出ません」

結弦「その英文法の本は、良い本なの？」

私「大学から帰ってきた後、買って、読み始めたが、かなりレヴェルが高いと感じた。結弦は、英検２級で、会話はできるけど、文法が苦手というから、丁度良いかも知れない」

結弦「文法書として、どうなの？」

私「１０年前くらいに、ひとつも誤りのない参考書として、取り上げられた書なんだ」

結弦「いくら？」

私「２，６４０円」

結弦「お母さんに、買ってもらおうかな」

私「単語は、決して難しくない。ほとんどの文法の説明に、１つ以上の例文を付けて、丁寧に説明している。『こういう場合は、こういう訳語を当てる』というような指導もしてくれる。流暢な英語がしゃべれて、文法も完璧だったら、無敵だ」

若菜「ハーパーの『イラストレイテッド生化学』という本は、訳本がありますね」

私「これだろ、

イラストレイテッドハーパー・生化学原書30版 (Lange Textbook シリーズ)

丸善出版

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第３０版だ」

若菜「これだと、８，６９０円なんですが」

私「これでも、高いけど、いずれにせよ、学問をやるには、お金がかかる。ところで、英語の本でいきなり生化学を学ぶ自信がないのなら、もう第７版の原書が出ちゃってるけど、『細胞の分子生物学（第６版）』の訳本、私のを、貸してあげても良いよ。『細胞の物理生物学』と、どっちか、貸してあげるよ。私は、化学だ。生物学ではない。と、言い張るかも知れないけど、それだったら、

ジョーンズ有機化学上 (第5版)

作者:Jones,Jr.,Maitland,Fleming,Steven A.
東京化学同人

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ジョーンズ有機化学　下 (第5版）

作者:Jones,Jr.,Maitland,Fleming,Steven A.
東京化学同人

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は、どうだろう。出だし、高校の化学より凄く難しいと思うだろうが、第１章を、日本語だからということで、読めば、後は、同じようなことの繰り返しで、分からないことはない」

若菜「そんな大学の教科書を？」

私「じゃあ、裏技が、いっぱい書いてある

高校で教わりたかった化学 (大人のための科学)

作者:正, 渡辺,博彦, 北條
日本評論社

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は、どうかな？」

若菜「どんな、裏技？」

私「高校の化学、こんな風に教えてくれれば、分かったのに、ということが、いっぱい書いてある」

若菜「いずれにしても、今は、物理と数Ⅲに、集中しなければ、ならないの」

私「大学に、入ってからのことまで、考えられないか。じゃあ、麻友さんとのゼミは、大学レヴェルだから、いつもの若菜と結弦に、戻って」

若菜・結弦「はーい」

麻友「太郎さん。本当に、高い本、持っているのね」

私「全部で、５０万円は、かけてる。いずみ野で捨ててきた本を合わせると、８０万円くらいだな」

麻友「それを、一生かかっても、読めないなんて」

私「いっとき、認知症の兆候があると、騒いでいたんだけど、そのこと自体忘れてしまった。前から知ってたんだけど、数学セミナーの８月号が、『公理という考え方』という特集をしていて気になってたのね。それで、一昨日（８月１１日）、もし鶴見のCIALのくまざわ書店に、残ってたら、内容確認して買おうと思って、行った。棚に行くと、１冊、あった。数学セミナーの９月号は、８月１２日発売だったから、最後の日だった。内容も、望んでいたこと、選択公理、巨大基数の公理、物理学の公理化、様相論理、などが書いてあったので、現在の正常な数学者が使っている、数学の公理を知るために、買ってきた」

麻友「いくらだった？」

私「１，１９９円」

麻友「まだ、買っているのか」

私「本当の論文に、手を出しにくい私にとって、数学セミナーは、最新の数学に触れる良い媒体なんだ」

麻友「今日は、朝、『熱力学』やって、このブログ書いて、新聞届けて、疲れたでしょう。もう２１時１５分だわ。終わりにしない？　久し振りに『現代論理学』が、進んだわね」

若菜・結弦「おやすみなさーい」

私「おやすみ」

麻友「おやすみ」

　現在２０２２年８月１３日２１時１９分である。おしまい。