1から始める数学

数字の1を定義するところから始めて現代数学を築きます。ブログの先頭に戻りたいときは、表題のロゴをクリックして下さい。

0から始める数学(その12)

 現在2022年4月26日13時35分である。(この投稿は、ほぼ2422文字)

麻友「一昨日、2本書いてきたから、さすがに昨日は、書いてこられなかったわね」

私「昨日は、ポートへ行ったんだ。投稿はできなかったけど、いくつか誤りをスマホで見つけて、直したんだよ」

若菜「そうですよね、間違ってましたよね」

私「うん」


結弦「ところで、『AKB48小学算数』でも、使ったけど、僕達まだ、引き算を定義してないよね」

私「どう定義する?」

結弦「宝塚の整数で、{5} から、{3} を引くのは、{3=\{(4,1),(5,2),(6,3),\cdots\}} は、{3} だけど、これを、マイナスして、{-3=\{(1,4),(2,5),(3,6),\cdots\}} を、足すことにしたら?」

麻友「{-3} を、足すということと、{3} を引くというのは、意味が、違うわ」

私「確かに、そういう反論があるだろうと、思っていた」

若菜「分かってたんですね」

私「麻友さん。じゃあ、聞くが、{5} から、{-3} を引くというのは、どういうことだい?」

麻友「{5} から、{-3} を、引くですって?

{5-(-3)=5+3=8}

のはずよね」

私「つまり、{-3} を、引くのは、マイナスして、{-(-3)} を足すことじゃないかい?」

麻友「あー、前、私、{-(-3)} は、座標を2回、入れ換えることだから、{-(-3)=3} だって、強がったわね」

私「良く覚えていた。だから、{5} から、{3} を引くのは、

{5=\{(6,1),(7,2),(8,3),\cdots\}}

で、

{3=\{(4,1),(5,2),(6,3),\cdots\}}

だから、

{-3=\{(1,4),(2,5),(3,6),\cdots\}}

と、マイナスして、

{5-3=5+(-3)=\{(6,1),(7,2),(8,3),\cdots\}+\{(1,4),(2,5),(3,6),\cdots\}}
{=\{(7,5),(9,7),(11,9),\cdots \}}

となる。本当の値は、座標の前の数字から、後ろの数字を引いたものだから、{7-5=2} が、答え。つまり、{5-3=2} と、計算できた」

麻友「ちょっと、気になっているのよね。{5=\{(6,1),(7,2),(8,3),\cdots\}} や、{-3=\{(1,4),(2,5),(3,6),\cdots\}} のときは、{1} が含まれる座標から始まっているのに、足し合わせると、{\{(7,5),(9,7),(11,9),\cdots \}} と、大きい数ばかりになる。そのうち、足し算を続けていると、もの凄い大きい数ばっかりになって、計算できなくなるんじゃない?」

私「おおーっ! 自分で気付くとは」

麻友「気付いてたの? 知ってて放っておいたの?」

私「覚えているかどうか、分からないけど、座標で、ゼロを作るとき、大学で習うことだけど、今、教えるね。と言って、同値類(どうちるい)というものを使うと、話したんだけどね」

若菜「あの頃、私達は、まだいませんでしたけど、{[\{(6,1),(7,2)\}]} みたいに、大括弧でくくって、ましたよね。この場合、{5=[\{(6,1),(7,2)\}]} ですけど」

麻友「太郎さん。以前に話したこと、キレイに忘れてるのね。今日の同値類の話、

mayuandtaro.hatenablog.com

で、話しているわ」

私「まあ、それでもいいや。引き算も、定義を確認した」

麻友「同値類という言葉は、今回少し、分かったわ。

{\{(7,5),(9,7),(11,9),\cdots \}}

は、本当は、

{\{(3,1),(4,2),(5,3),\cdots \}}

という集合と、同じなのね。取ってきた代表で表すって、太郎さんが、川口周さんから、教わったことと同じね」

私「まさに、そうだよ。私達は、同値類で、整数を作った。数学では、こういうことが、何度も起こってくる。慣れておいてね」


結弦「もういい加減、分数や、小数も、使えるようにしてよ」

私「分かった。実数を、使えるようにするよ」

麻友「実数の構成って、私達の出会ったばかりの頃からの、テーマじゃなかった?」

私「私に取っては、京都大学の3回生のときからの課題だよ」

若菜「でも、お父さん自身では、解決しているのでしょう?」

私「そんなに、お利口さんでは、ないんだ」

結弦「残り時間、短いんだからね。あれも、これもは、無理だよ」

私「京都大学2回生の頃の、

・パイの定義

積分の定義

・実数の構成

メビウスの帯が向き付け不可能であること

・指数関数が連続であること

多様体の次元の一意性

という課題のうち、『パイの定義』と『指数関数が連続であること』は、片付けた。だがまだ4つは、残っている。取り敢えず、今晩は、ここまで」

若菜・結弦「おやすみなさーい」

麻友「おやすみ」

私「おやすみ」

 現在2022年4月26日19時29分である。おしまい。