1から始める数学

数字の1を定義するところから始めて現代数学を築きます。ブログの先頭に戻りたいときは、表題のロゴをクリックして下さい。

圏論の歩き方

 現在2020年7月2日20時39分である。

結弦「あれっ、ワープしたのに、随分時間がかかってる」

私「ワープはしたけど、到着地点を、きちんと設定してなかったので、戸惑ったんだよ」

麻友「この魔法を使うのは、初めてだったの。いきなり他の本の連載始めて、そこにワープするなんて、無謀だったわね」

若菜「この本は、とにかく最後まで流し読んで、なんぼの本ですから、どんどん始めましょう」

私「よし、始めよう」


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圏論の歩き方委員会編『圏論の歩き方』(日本評論社

圏論の歩き方

圏論の歩き方

  • 発売日: 2015/09/09
  • メディア: 単行本


まえがき

 圏論とは何か? 一言で言うと,現代数学のさまざまな場面で使われる「数学のコトバ」です.圏論のコトバは,さまざまな具体的概念に共通する抽象的性質を記述する上で便利な抽象力と一般化力を持っています.それゆえに,数学の中の異なる分野──代数学幾何学解析学・・・これらそれぞれの中にも,とても多くの分野がありますね──の間の,(普通の数式による表現では予想もしなかったような)関係性を明らかにしてくれることがあり,現代数学では圏論はもはや基本的な道具です.


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若菜「微かな獲物見つけた。

◯とても多くの分野がありますよね

{\times}とても多くの分野がありますね

とした方が、日本語として、しっくり来ない?」

麻友「良く読めているということね」

結弦「あまり初回から張り切ると、後が続かないから、第1段落だけで、止めたら?」

麻友「いくつ連載をかけ持っているのかしら?」

私「

『問題を2問ずつ』

微分積分入門』

『細胞の分子生物学

『現代論理学』

『0から始める数学』

圏論の歩き方』

『『数Ⅲ方式ガロアの理論』のガイドブック』

『力学の基礎』

量子力学概論』

数学原論

理論物理学教程』

といったところかな。これに、『直観主義集合論』も、加えてみたいけど」

麻友「連載12個なんて、無理よ」

私「でも大学生は、1日に4科目、週5日で20科目も、勉強しているんだよ」

若菜「授業で、受け身でポイントを教わるのと、独学するのでは、違いますよね」

私「でも、何だって、始めないと、結局何にも得られないんだ」

結弦「お父さんのブログだ。好きなように、やっていったら?」

私「ありがとう。今日は、もう21時50分だから、寝るね。解散」

 現在2020年7月2日21時50分である。おしまい。

現代論理学(その27)

 現在2020年7月2日15時00分である。

私「麻友さん。7月1日になってから、麻友さんがナレーションを務めた『ピカチュウ、これなんのカギ?』というのを、WOWOWで、流すなんて」

麻友「ごめん。放送局も、大変なのよ」

私「7月5日に『トライベッカ#1』をやるという未確認情報もある」

麻友「お願い、許して」

私「今日は、いいことがあったから、許してあげる」

麻友「あら、何があったの?」

私「ペンケース、来たんだよ。ほらっ」


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麻友「なんかちょっと、赤みがかっているけど」

私「そうだよね。元の写真は、麻友さんのドレスが、純白のはずだものね。中身は、こう入る」


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麻友「難しいことを言っていた、長さ19cmの幅4.5cmの定規は?」

私「ほら、入ってる」


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麻友「ああ、良かった。太郎さんに届いたなんて」

私「そっか、麻友さんが特別にお願いして、作ってもらったのか」

麻友「そうじゃなきゃ、芸能界引退後に、『渡辺麻友のペンケース』なんて誰も見向きもしないわ」

私「ファンの人達も、自分の心を整理するのに、苦労しているみたいだね」

麻友「アイドルって、罪作りな仕事ね」

私「ホステスとかに比べれば、騙した量は少ないんじゃない?」

麻友「私を、ホステスと比べるの?」

私「女の人には、違いない」

麻友「もう。魔法で、ペンケース消しちゃうわよ」

私「その、魔法、知りたいな」

麻友「物理学で、解明できるわよ」

私「じゃあ、まず数学の基礎的なことで、合意できることを、増やそう。

安井邦夫『現代論理学』(世界思想社

現代論理学

現代論理学


の、8ページの5行目から」



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 ところで,われわれは上にとりあえず5つの結合子を採用したが,真理関数という観点から見れば,これらの結合子は互いに還元可能である.つまり次のような等式が成立する.〔この場合,等号 {=} は,左辺と右辺の論理式が({A,B} に任意の真理値を与えた場合に)常に同一の値をとることを表している.〕

{(A \equiv B)=\{(A \Rightarrow B) \wedge (B \Rightarrow A)\}}     (1)

{(A \Rightarrow B )=(\neg A \vee B)}            (2)

{(A \Rightarrow B )=\neg (A \wedge \neg B)}           (3)

{(A \wedge B )= \neg (\neg A \vee \neg B)}           (4)

{(A \wedge B )= \neg (A \Rightarrow \neg B )}           (5)

{(A \vee B )= \neg (\neg A \wedge \neg B)}           (6)

{(A \vee B )= ( \neg A \Rightarrow B )}            (7)


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麻友「あの子達も、呼びましょう。若菜、結弦、出てきて」

結弦「おっ、久しぶりに『現代論理学』。お父さんも、論理に拘るなあ」

若菜「お父さんは、大学時代に、『数学において、正しいとは、どういうことか』ということが分からなくなって、それを克服するのに、論理学の力を借りたから、重要でしょうけど、私達は、論理学なんて、必要性を、感じてないんですけどねえ」

私「実は、私も、論理学の研究は、とっくに終わらせているはずだった。私は、レヴェルの高い物理学を、学びたかったのだからね。でも、論理学を学んでみると、面白いことも、いくつかあるんだよ。ちょっと前に話した、『直観主義集合論』の『はじめに』を6月12日から6月30日まで、読んでみて、私の持っている古典的論理学に基づく集合論と、直観主義集合論との違いも、分かった。その違いが分かるためには、『現代論理学』や『数学基礎概説』で、古典的論理学を学んでなければならなかった」

麻友「いや、論理学を、やりたくないと、言ってるわけでは、ないの。ただね、ブルバキは、最初に『圏と関手』からやれば良かったと思っていたようだ、という話を聞いたり、『圏と関手』を使って、直観主義集合論を作ろうとしていたようだ、とか、圏って、すっごい面白そうで、しかも、

圏論の歩き方委員会『圏論の歩き方』(日本評論社

圏論の歩き方

圏論の歩き方

  • 発売日: 2015/09/09
  • メディア: 単行本

こんな面白そうな本も出てる。私も、こっちの本の方を、読んでみたいのよ」

若菜「そんなことを、言ったら、どんなことになるか・・・」

私「あっ、圏論を、もっと知りたかったの。ただ、言っとくけど、圏論っていうのは、ホモロジー代数と呼ばれるもので、私が大学1年入学早々で、川口周君に、


私「どんな本でゼミをやるんですか?」

川口「森田康夫(もりた やすお)の『代数概論』という本にしようと思っているんです。この矢印を、使えるようになりたいなと」

私「ああ、この最後の章の、圏と関手のところですね」

代数概論 (数学選書)

代数概論 (数学選書)



と言って、ゼミを始めたが、半年経ったとき、この矢印に関係する、ホモロジーというものは、とんでもなく難しいもので、到底進めないと分かって、ホモロジーのところは、飛ばさざるを得なかったというほどなんだよ。だから、『圏論の歩き方』という本は、今の状態へのアンチテーゼなんだ」

結弦「説明が丁寧でないの?」

私「圏論というのは、一種の言葉だから、ただそれだけ勉強しても、分からないんだ。何かその言葉で、他の人に伝えたい、数学的事実がないと」

若菜「例えば、どんなものを、伝えるんですか?」

私「そもそも、圏が考えられたのは、代数的位相幾何学などの分野でだった。だから、位相幾何学、つまりトポロジーを勉強すると、伝えたいことができて、圏と関手で、伝えられる。でもまあ、今の時代は、圏も人口に膾炙した。麻友さん達が読みたいというのなら、ちょっとずつ読んでいこうか。これも、『1から始める数学』だから、このブログで、始めようか。『圏論の歩き方』という題の記事は、この本としよう。じゃあ、思い立ったが吉日。今日からやろう。『現代論理学』は、8ページの16行目までやったぞ」

麻友「じゃあ、新しい記事へ、ワープ!」

 現在2020年7月2日19時49分である。おしまい。

0から始める数学(その1)

 現在2020年2月14日19時42分である。

麻友「世の中は、バレンタインデーだけど、私は、太郎さんにチョコレートあげられなかった」

結弦「お姉ちゃんも、お父さんに、あげなかったな」

若菜「去年、お返しをもらえなかったからよ」

私「ごめん。ごめん。麻友さんからも、去年もらったっけ?」

麻友「それより、とうとう、『0から始める数学(その1)』? 総攻撃開始かしら?」

私「最初から、(その1)と、始めたのは、いよいよ私が、京都で倒れて、バラバラになってしまった数学を、京都にいたときずっと、あのように築き直したいと思っていた方法で、1998年9月5日に、『現代論理学』で始め、1999年12月3日までかけて読み、12月7日に、安井邦夫さんに、お手紙を書いた。あっ、麻友さん!」

麻友「なに?」

私「いや、昨日の朝7時30分から録画してあった、『グリーン&ブラックス』の#14を、今日になって、今、写しておいて、ブログ書いていたんだよ。そうしたら途中から、麻友さんの声が、聞こえてきた。それで、あっ麻友さん出てた回なんじゃないと、ビックリしたんだよ」

麻友「観てくれたのね、やっと。太郎さんは、本当に正直。ひとつき2、530円も払っているのに、録画した『グリブラ』を、私が出ていない部分は、画面を観ずに、放っておく」

結弦「そのギャップにこそ、お父さんの愛を感じなきゃ」

若菜「お父さんにとって、3日が、2、000円なんですから、2、530円/月は、半端でなく重いはずです。お母さんだけを、観ていたい。私にも、こんな人が、現れるかしら?」

私「今日は、麻友さんの動く姿と声が聞こえて、ハッピー。ところで、さっきの続き、1999年12月10日から、『数学基礎概説』を開始。全文写しで、ゆっくりゆっくり進んで、2002年4月12日から第4章 集合論 に入って、2004年5月16日に『数学基礎概説』を、読み終え、19冊のノート全部のコピーと、誤植を指摘したテキスト全ページのカラーコピーを、大芝猛さんに送った。私の現在の落ち着きがあるのは、1998年9月から2004年5月までの5年半の下積みのお陰。そう簡単には、麻友さんに説明することは、できないだろうと、思っていた」

若菜「思っていた。と、過去形なのですか?」

私「そうなんだ。私は、『数学基礎概説』で、ベルナイス・ゲーデル集合論の、最強の武器、『一般存在定理』の分かりにくい、説明と証明を、学んだ。無敵ではあるが、使いにくい武器だと思っていた。それは、麻友さんに会った後まで、続いていた」

麻友「えっ、じゃあ、『はやぶさ』なんかの頃は、まださまよってたの? 2015年に?」

私「2014年に、入院させ、私の病気を、快方に向かわせ、21歳の女の人に、恋をさせ、当たったコンサートに行かせないように、2015年9月に入院させ、さらに私に数学の研究をさせた。私は、倉田令二朗さんの数学基礎論シリーズ(0巻から6巻)を、読み始め、ついに、クラスと集合を、クラスは一般に大文字のアルファベット、集合は小文字のアルファベットで書いて良い、という書き分けというもの凄いマジックを知った。それで、『一般存在定理』を、麻友さんにでも、説明できるほど、理解し、数学を悟ったと思った」

麻友「覚えてる。2015年10月13日の『麻友&太郎という公認カップル』という投稿で、


『今回入院中に、私は、今まできちんと理解できていなかった数学での問題を解決でき、ある意味、数学で分からないことはなくなった』

『完全に分かってから見ると、数学というものは、どんなに難しい定理も、決して難しくはなかったのだと、納得した』

『説明の仕方が、不親切なだけだったのだと、今にして思う』

『いかに多くの人が、ZF(ツェルメロ/フレンケル)に苦しめられたかと、可哀想になってしまう』

『BG(ベルナイス/ゲーデル)という武器は、強力であり、これを普及させることに、努めようと思う』

『全部分かるようになった、などとオーバーなことを言う気はないが、『数学において正しいとはどういうことか』ということのみ、分かっていたところに、『数学において間違っているとはどういうことか』や、『数学において正しいということも間違っているということも証明できないとはどういうことか』ということが、はっきりと分かったのである』


と、書いてきた。あのとき、もう悟ってたのね。でも、どうして今まで、開花させられなかったの?」

私「それは、私が、どうしても数学を、1から築きたいと、願っていたからだよ。0から築いたら、私の数学では、なくなってしまう」

麻友「それで、1から数学を築き、0を作ってから、改めて、0から始める数学を、築くわけなのね。太郎さんの美学が、それを求めていたわけね」

若菜「お父さん。本当に数学は、恋人なんですね」

結弦「じゃあ、4年半経って、これから、『一般存在定理』とやらに、お目にかかるのか。今まで、そんな言葉、おくびにも出さなかった」

麻友「論理学との関係は?」

私「お互い助け合いながら、進んで行く。楽しみにしてて」

麻友「分かったわ。じゃあ、もう寝たら?」

私「うん。それじゃ、解散」

若菜・結弦「おやすみなさーい」

麻友「おやすみ」

私「おやすみ」

 現在2020年2月14日21時30分である。おしまい。