1から始める数学

数字の1を定義するところから始めて現代数学を築きます。ブログの先頭に戻りたいときは、表題のロゴをクリックして下さい。

0から始める数学(その1)

 現在2020年2月14日19時42分である。

麻友「世の中は、バレンタインデーだけど、私は、太郎さんにチョコレートあげられなかった」

結弦「お姉ちゃんも、お父さんに、あげなかったな」

若菜「去年、お返しをもらえなかったからよ」

私「ごめん。ごめん。麻友さんからも、去年もらったっけ?」

麻友「それより、とうとう、『0から始める数学(その1)』? 総攻撃開始かしら?」

私「最初から、(その1)と、始めたのは、いよいよ私が、京都で倒れて、バラバラになってしまった数学を、京都にいたときずっと、あのように築き直したいと思っていた方法で、1998年9月5日に、『現代論理学』で始め、1999年12月3日までかけて読み、12月7日に、安井邦夫さんに、お手紙を書いた。あっ、麻友さん!」

麻友「なに?」

私「いや、昨日の朝7時30分から録画してあった、『グリーン&ブラックス』の#14を、今日になって、今、写しておいて、ブログ書いていたんだよ。そうしたら途中から、麻友さんの声が、聞こえてきた。それで、あっ麻友さん出てた回なんじゃないと、ビックリしたんだよ」

麻友「観てくれたのね、やっと。太郎さんは、本当に正直。ひとつき2、530円も払っているのに、録画した『グリブラ』を、私が出ていない部分は、画面を観ずに、放っておく」

結弦「そのギャップにこそ、お父さんの愛を感じなきゃ」

若菜「お父さんにとって、3日が、2、000円なんですから、2、530円/月は、半端でなく重いはずです。お母さんだけを、観ていたい。私にも、こんな人が、現れるかしら?」

私「今日は、麻友さんの動く姿と声が聞こえて、ハッピー。ところで、さっきの続き、1999年12月10日から、『数学基礎概説』を開始。全文写しで、ゆっくりゆっくり進んで、2002年4月12日から第4章 集合論 に入って、2004年5月16日に『数学基礎概説』を、読み終え、19冊のノート全部のコピーと、誤植を指摘したテキスト全ページのカラーコピーを、大芝猛さんに送った。私の現在の落ち着きがあるのは、1998年9月から2004年5月までの5年半の下積みのお陰。そう簡単には、麻友さんに説明することは、できないだろうと、思っていた」

若菜「思っていた。と、過去形なのですか?」

私「そうなんだ。私は、『数学基礎概説』で、ベルナイス・ゲーデル集合論の、最強の武器、『一般存在定理』の分かりにくい、説明と証明を、学んだ。無敵ではあるが、使いにくい武器だと思っていた。それは、麻友さんに会った後まで、続いていた」

麻友「えっ、じゃあ、『はやぶさ』なんかの頃は、まださまよってたの? 2015年に?」

私「2014年に、入院させ、私の病気を、快方に向かわせ、21歳の女の人に、恋をさせ、当たったコンサートに行かせないように、2015年9月に入院させ、さらに私に数学の研究をさせた。私は、倉田令二朗さんの数学基礎論シリーズ(0巻から6巻)を、読み始め、ついに、クラスと集合を、クラスは一般に大文字のアルファベット、集合は小文字のアルファベットで書いて良い、という書き分けというもの凄いマジックを知った。それで、『一般存在定理』を、麻友さんにでも、説明できるほど、理解し、数学を悟ったと思った」

麻友「覚えてる。2015年10月13日の『麻友&太郎という公認カップル』という投稿で、


『今回入院中に、私は、今まできちんと理解できていなかった数学での問題を解決でき、ある意味、数学で分からないことはなくなった』

『完全に分かってから見ると、数学というものは、どんなに難しい定理も、決して難しくはなかったのだと、納得した』

『説明の仕方が、不親切なだけだったのだと、今にして思う』

『いかに多くの人が、ZF(ツェルメロ/フレンケル)に苦しめられたかと、可哀想になってしまう』

『BG(ベルナイス/ゲーデル)という武器は、強力であり、これを普及させることに、努めようと思う』

『全部分かるようになった、などとオーバーなことを言う気はないが、『数学において正しいとはどういうことか』ということのみ、分かっていたところに、『数学において間違っているとはどういうことか』や、『数学において正しいということも間違っているということも証明できないとはどういうことか』ということが、はっきりと分かったのである』


と、書いてきた。あのとき、もう悟ってたのね。でも、どうして今まで、開花させられなかったの?」

私「それは、私が、どうしても数学を、1から築きたいと、願っていたからだよ。0から築いたら、私の数学では、なくなってしまう」

麻友「それで、1から数学を築き、0を作ってから、改めて、0から始める数学を、築くわけなのね。太郎さんの美学が、それを求めていたわけね」

若菜「お父さん。本当に数学は、恋人なんですね」

結弦「じゃあ、4年半経って、これから、『一般存在定理』とやらに、お目にかかるのか。今まで、そんな言葉、おくびにも出さなかった」

麻友「論理学との関係は?」

私「お互い助け合いながら、進んで行く。楽しみにしてて」

麻友「分かったわ。じゃあ、もう寝たら?」

私「うん。それじゃ、解散」

若菜・結弦「おやすみなさーい」

麻友「おやすみ」

私「おやすみ」

 現在2020年2月14日21時30分である。おしまい。

16進数学(16進数を書くときの約束事)

現在2020年2月8日21時40分である。

麻友「今日は、かなり研究してたわね」

私「倉田令二朗さんの数学基礎論シリーズを16ページくらい読んだ。推移的閉包(transitive closure)という言葉を、初めて知った」

若菜「16進数学が、進んでませんが」

私「そうなんだよね。これからは、移行期を経て、ほとんどすべてを、16進数で、記述するようにしたい。だが、2020年などの年号や、本のページ数の48ページなどでは、10進数を、許すとしたい。また、ローマ数字のI,II,III,IV,V,VI,VII,VIII,IX,X,XI,XII,XIII,XIV,XV,XVI,XVII,XVIII,XIX,XX (ローマ数字で、1から20)は、10進数のまま使うことを許す」

結弦「これは、16進数で、書いてありますよ、という目印を決めたら、分かり易くない?」

私「確かに。10進数で、24(にじゅうよん)は、16進数で、18(いちはち)だ。これを、右下に、何進数かを十進数で書いて、

{(24)_{10}=(18)_{16}}

とするのが、最も分かり易い」

麻友「この等式が、正しいということは、どうやって示すの?」

私「右辺の{(18)_{16}} を10進数で表すことを考えよう。18の、8は1の位、つまり{16^0=1} の位の数だから、そのまま、{1 \times 8 = 8} だ。次に、{(18)_{16}} の18の、1は16の位、つまり{16^1=16} の位の数だから、{16 \times 1 =16} である。そこで、最後に、10進数に直すと、{8+16=24} となり、

{(24)_{10}=(18)_{16}}

が、確かめられた。


昨日、ここまで書いてあった。眠くなり、寝てしまった。


現在2020年2月9日15時08分である。

麻友「逆に、10進数の24が、16進数の18になるというのは、確かめないの?」

結弦「それは、一方だけ確かめれば、十分なはずだけど、特待生の質問は、貴重だから、やってみよう」

私「こんな風な、解答は?」

このページの10進数の枠に、24と入れて、16進数で、どう表されるか、変換してごらん。

10進数←→16進数www.gs.niigata-u.ac.jp

若菜「これ、面白いですね。小数でも、変換できる」

麻友「あっ、本当。だけど、16進数の小数は、10進数の小数に直せない」

私「そもそも、16進数の小数というものは、数学をまともに16進数で、記述するときしか、出てこない。普通、16進数で表すのは、コンピューターのプログラムだ。だから、整数の場合だけ、変換できれば、後は困らないんだよ」

結弦「そうか。でも、物理学で、今度定義が決まった、プランク定数なんて、どうするの?」

私「あれは、・・・」


麻友「私、覚えたわよ。太郎さん年賀状に書いてきた。{h=6.62607015 \times 10^{-34} \mathrm{J s}} だったわね」

私「年賀状、届いたんだ」

麻友「太郎さん。気付いたのね。ちゃんと、7階にしてあった」

私「麻友さんが、去年くれた年賀状では、6階になってた。でも、麻友さんのオフィシャルホームページのファンレターの送り先は、7階だった。恋人同士だけど、私が麻友さんのファンであることは、紛れもない事実だ。だから、ファンレターとして、年賀状送った」

麻友「ああ、ばらしちゃったわね」

私「私のブログ見ている、麻友さんのファンなんて、ひとりでもいるの?」

麻友「私が、太郎さんを、好いていることを、知っているファンは、少なくないの」

私「麻友さん。私のこと、本当に好きなんだ。こんなに、顔も悪くて、お金も稼げない、男の人を」

麻友「熱心なファンということでは、太郎さんより熱心に、慕ってくれたファンは、他にもいた。でも、数学や物理学の冒険、クラシック音楽のデート、結婚をシミュレート、結婚後のW3M∞のシミュレート、なんていう、私を巻き込んだ、一連の冒険は、この人と一緒になったら、面白そう。と、私でも、興味をそそられた。『感情をなくした』私の心に、感情を取り戻させてくれた。嬉しかったのよ」

若菜「お父さん。この機を逃さず、お母さんを、ぎゅっとしてあげなければ」

私「それは、麻友さんが今いる場所が、分かってればなあ」

結弦「そうだ。良いこと思い付いた。お母さんの前で、プランク定数、10進数から16進数に、手品みたいにパッと、変換させてみなよ」

私「それは、できないんだ。実は、私も、これはもっと簡単にできると思って、楽観してた。でも、{10^{-34}} というのは、{16^{-34}} と、簡単には行かないんだ」

若菜「じゃあ、どうするんですか?」

私「もし、強引に16進数を、押し通そうとすると、10進数で書いてある、指数のある数は、その指数の部分を、丁寧に計算しなおさなければならない。例えば、

{(16)_{10}^{(16)_{10}} = (18446744073709551616)_{10}}

などという煩瑣な計算をすることになる。小さいときから、16進数で、すべて習ってきた子供は、分かるだろうが、私が提唱している、小学校上がる前に、お母さんやお父さんが、算数を教えておけば良い、という最高の技が、私ですら、使えなくなる」

麻友「ドラえもんのブログの、『1から始める数学(その14)』の投稿ね」

若菜「そもそも、お父さんは、なぜ16進数にしようと、思ったのでしたっけ」

私「コンピューターのプログラムを、これから生まれてくる子供達に、読みやすく、また、書きやすく、してあげようと思ったんだ」

結弦「他にも理由があったね」

私「円周率 {\pi} が、1000兆桁目は何かとかを、簡単に求められる。数学を16進数で書いて行ったら、今までの未解決問題が、解けるのではないか? 例えば、リーマン予想とか、という期待があった」

若菜「それでは、16進数だと、何桁目でも、求められます、というひとつの定理のまま、私達は、今後も、10進数を、使い続けるのでは、どうでしょう」

私「プランク定数が、明暗を分けた。今後私達が、量子力学を、研究していくとき、10進数で、計算していくことにする」

麻友「太郎さんの数学への、唯一の貢献になるかも知れなかったのにね」

私「悪い皇帝に、ならなくて良かった」

結弦「結局、お父さんは、こうやって、新しいアイディアが、上手くいくかどうか、テストしてるんだな」

若菜「小説を、書いて、実験している作家と違い、お父さんは、お金はもらえなくても良いと、公言してる」

結弦「でも、お父さんにとっての最高の報酬は、お母さんと一緒になることだろ。本当に6年後に、お金は、なくなるのかなあ」

麻友「太郎さんが、今回の決断で、数学を迷わせなかったのは、英断だと思うわ。メールくらい送ってあげたいけど、太郎さんって、私のスキャンダルを狙っている記者じゃないわよね」

若菜「そんなこと、・・・」

結弦「お母さんの周りの人って、お父さんのこと、そんなに警戒しろって、言ってるの?」

麻友「そりゃ、自分から、気が狂っていると、話してくれるなんて、普通じゃないわ。でも、罠にはめられそうな、気もするのよ」

若菜「体ごとぶつかってみれば、罠でも幸せが、味わえるかも知れないですよ」

私「麻友さん。最初からいきなり訪ねてきて、脅かすのは、余り歓迎しないよ。まずは、メールくらいから、始めて、次はLINE。それから、電話。そして、時間を決めて、デート。普通の人の真似だってしたいじゃない」

麻友「うん」

若菜「そうすると、今日の数学の獲物である、16進数で書いてあることを示す目印は、

{(311)_{10}=(137)_{16}}

や、

{(911)_{10}=(38 \mathrm{F} )_{16}}

などですね。今後も、使うのですか?」

私「多分、使う機会あると思う」

麻友「座布団、ペンライト、カレンダーなどと共に、ふたりで作ったものが、増えたわね。16進数学の連載が止まって、いっとき半角の数字だったのも、全角の数字が復活した」

私「じゃあ、解散」

麻友「おやすみ」

若菜・結弦「おやすみなさーい」

私「おやすみ」

 現在2020年2月9日20時06分である。

16進数学(0から始める数学)

現在2020年2月7日20時29分である。

麻友「『現代論理学』は?」

私「真理表ばっかりも、つまらないでしょう」

結弦「『0から始める数学』って、現代の数学の築き方だ」

若菜「お父さんは、『1』を定義し、それを用いて、『0』を、定義したのですよね。『女の人のところへ来たドラえもん』のブログの『1から始める数学』という記事の(その15)までで」

私「そうだ。ちょっと復習しよう」

麻友「『1』は、宇宙の個数と定義した。月の個数と、定義しても良い。これは、ひとりの人という言い方の基本にある個数よね」

若菜「お母さん達は、『1』にたどり着くまで長かったですが、『2』も、時間掛かりましたね」

麻友「『1+1』の省略記号を、『2』とした」

私「本当は、{3} を定義していないのに、{3} を定義したみたいなことも、書いてしまった」

結弦「『1から始める数学(その15)』では、{(51,3)} なんて言うのもあった。{51} なんて、どうするの?」

私「今回私達は、16進数の数学を進めようとしている。これに慣れるためにも、10進数で、表した数と、16進数で表した数を、互いに変換するのにも、慣れるようにしよう」

麻友「太郎さん。眠そう。寝たら」

私「じゃあ、今日は解散」

若菜・結弦「おやすみなさーい」

麻友「おやすみ」

私「おやすみ」

現在2020年2月7日22時43分である。おしまい。