1から始める数学

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現代論理学(その47)

 現在2023年12月14日22時01分である。(この投稿は、ほぼ1302文字)

 同値という分かり難いことばについて、今日、まとまった、現在での結論を、述べておく。

{
\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c}

A & B & A \Rightarrow B & B \Rightarrow A & (A \Rightarrow B) \wedge (B \Rightarrow A) & A \Leftrightarrow B & A \equiv B\\

\bigcirc & \bigcirc & \bigcirc & \bigcirc & \bigcirc & \bigcirc &  \bigcirc \\

\bigcirc & \times  & \times & \bigcirc & \times & \times &  \times \\

\times & \bigcirc & \bigcirc & \times & \times & \times &  \times \\

\times & \times & \bigcirc & \bigcirc & \bigcirc & \bigcirc & \bigcirc \\

\end{array}

}

 であるから、{(A \Rightarrow B) \wedge (B \Rightarrow A)}{ A \Leftrightarrow B } と、{ A \equiv B} とは、全く同じものである。従って、意味の分かり易い、{ A \Leftrightarrow B } に統一する。そして、モデル {\models} という記号を(なぜモデルと言うかは、述語論理学を学ぶとき分かる)、

{\models A \stackrel{\mathrm{def.}}{\Longleftrightarrow}} {A}トートロジー(要素命題に、どんな真偽を与えても、常に真になる)

と、定義し、

{A=B \stackrel{\mathrm{def.}}{\Longleftrightarrow} \models A \Leftrightarrow B }

と、{=} の論理学での意味を定める。

 こう定めると、『解析入門Ⅰ』の附録2 論理記号 での {\equiv} は、私達の {=} だと、分かる。

 これにより、『解析入門Ⅰ』が、同値と定めた、{ A \Leftrightarrow B } と、論理を外から眺めた結果を表す { A \equiv B } (私達の { A = B } )との違いが、やっと分かってくるものと思う。


 私に取って、2006年1月頃からの課題だった。17年越しにクリアできて嬉しい。

 現在2023年12月14日22時29分である。おしまい。