現代論理学（その４６） - １から始める数学

　現在２０２３年１１月１５日１６時２３分である。（この投稿は、ほぼ４２８５文字）

麻友「随分、早い時間に始めたわね」

私「問題が、解決したんだ」

若菜・結弦「うふっ」

麻友「どの問題？」

私「麻友さんが、『 ${=}$ と、 ${\equiv}$ って、どう使い分けるのですか？』と、聞いたな？」

麻友「聞いたわ。湯川さんの愚問のはずだった」

私「最初に、この本を読んだとき、１９９８年９月で、デイケアでと、メモもあるが、私には、とても、分からなかった。だが、『そういうものなのだろう』と、受け入れて、先に進んだ。集合論まで、解かなければならない問題は、山積しており、細かいところまで、目を向ける余裕は、なかった」

若菜「今回、解けたのですか？」

私「条件を、ひとつひとつ、チェックしていく。 ${p_1 \equiv p_2}$ というのは、真偽表で、

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麻友「あっ、同値！そうよ、『 ${\equiv}$ 』の真偽表

${\begin{array}{c|c|c} A & B & A \equiv B \\ \bigcirc &\bigcirc & \bigcirc \\ \bigcirc & \times & \times \\ \times & \bigcirc & \times \\ \times & \times & \bigcirc \\ \end{array}}$

と、同じだわ」

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　　　　　　　　　　（『現代論理学（その２４）』より）

だったな」

結弦「それは、覚えている。でも、今回、 ${\models A \equiv B}$ となると、 ${A \equiv B}$ が、トートロジーということになる。つまり、 ${\times}$ だったところが、全部、 ${\bigcirc}$ でないと、ならない」

私「そこが、難しかったんだ。

$A=B \stackrel{\mathrm{def.}}{\Longleftrightarrow} \models A \equiv B$

の左辺の ${=}$ を、成り立たせるには、定義により、 ${A \equiv B}$ が、トートロジーでなければならないが、 ${=}$ じゃないものを、作るには、 ${A \equiv B}$ と、書けてるけど、何カ所か、 ${0}$ が、現れていなければ、ならない」

若菜「お父さんは、 ${\models A \equiv B}$ を、壊そうとしているんですか？　同値だけど、偽（つまり0）と、偽（つまり0）という意味で、何カ所かだけが真になってるような、論理式」

私「これは、やってみれば分かるが、そんなに簡単では無い」

麻友「最後の閃きは？」

私「２０２３年１１月１５日１７時４０分１４秒」

若菜「パッと閃くんですか？」

私「学問とは、真似ぶものだ。テキストの、７ページを見て御覧」

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　例１　論理式 ${ \neg p_1 \vee p_3 \equiv \neg (p_3 \Rightarrow p_1)}$ の真理値の計算

${\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c} p_1 & p_3 & \neg p_1 & \neg p_1 \vee p_3 & p_3 \Rightarrow p_1 & \neg (p_3 \Rightarrow p_1) & \neg p_1 \vee p_3 \equiv \neg (p_3 \Rightarrow p_1)\\ \hline 1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0\\ \end{array}}$

　つまり，与えられた論理式の帰納的な形成の過程にそって順次，部分論理式(subformula)の真理値を計算してゆき、最後に論理式全体の真理値に到達するわけである．しかし，この過程は，次のように真理値を各記号の下方に直接記入することによって、より簡明に示すことができる．〔その際，論理式の最終的な値は一番外側の結合子（この例では ${\equiv}$ ）の下に記される．〕

${ ~\neg p_1 \vee p_3 \equiv \neg (p_3 \Rightarrow p_1)\\ 0~~~ 1~~ 1~~ 1~~ 0~~ 0~~1~~~1~~1\\ 0~~~ 1~~ 0~~ 0~~ 1~~ 0~~0~~~1~~1\\ 1~~~ 0~~ 1~~ 1~~ 1~~ 1~~1~~~0~~0\\ 1~~~ 0~~ 1~~ 0~~ 0~~ 0~~0~~~1~~0\\ ~~~~~~~~~~~~~~~\uparrow この列 }$

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（『現代論理学（その２２）より』）

結弦「あっ、そのものじゃない。この一番下の、 ${0}$ と ${1}$ を、入れ換えたら、お父さんの作りたい、同値だけど、偽（つまり０）が、混じっているものになる。つまり、同値だから、 ${A \equiv B}$ だけど、 ${A = B}$ でないものが、作れた。お母さんの湯川さんの愚問への答えになる」

麻友「太郎さんは、研究ノート８に、丁寧に書いている。

${\begin{array}{c|c|c|c|c|c} p_1 & p_2 & \neg p_1 & \neg p_1 \vee p_2 & p_2 \Rightarrow p_1 & \neg p_1 \vee p_2 \equiv (p_2 \Rightarrow p_1)\\ \hline 1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1\\ 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1\\ \end{array}}$

綺麗に、 ${ \neg p_1 \vee p_2 \equiv (p_2 \Rightarrow p_1)}$ は、 ${A \equiv B}$ と、同値だけど、同値なことが、トートロジーではないから、 ${A = B}$ ではないことが、示されている。微妙に否定の記号を、１つ外しているのね。結弦が、『 ${0}$ と ${1}$ を、入れ換えたら』と言っているの、分かってたのね」

私「数学の本というのは、こういう風に、著者が当たり前と思ったことが、読んでいる方がサッパリ分からず、何日も（あるいは２５年も？）悩むことがある。授業に出ていれば、先生に聞けば良いが、独学していると、本当に難問になる。私は、それでも、独学してきた。自分のペースを、乱されたくなかった。それを、アウトプットするためのものが、ブログである。このブログを壊されると、非常に困る」

若菜「実は、お父さんのブログ、愛読者が、何人もいるんですよ。この間も、お父さん、バカみたいに高額な本、買ったでしょう。笑われてますよ」

場の量子論と統計力学　増補版

作者:江沢洋,新井朝雄
日本評論社

Amazon

私「これか。これは、良い時期に買ったので、半額で買えたんだ」

結弦「お父さん。買っても読まないから」

麻友「そうよねえ。２０年も、積ん読状態の本、あるものね」

若菜「でも、８年前に、引っ越しているじゃないですか。それでも、減らせないって、よっぽど大切なんですかね？」

麻友「置いてきた本って、どんな本だったの？」

私「実は、私の本棚は、いずみ野に居るとき作った。引っ越したとき、３００冊以上、置いてきたが、リストからは、消してない。だから、置いてきた本も、リストに残っている。でも、困ったことはない」

若菜「どんな本を、置いてきたんですか？」

私「放送大学の教科書。数学セミナー５０冊以上。雑誌パリティ２年分。天文年鑑２０１５年より前。いや、思い出せる本は、置いてきていない。どうでも良い本を、置いてきたんだ」

若菜「なるほど、そうですか」

麻友「今も持っているブルバキが、従兄弟を驚かしたと、聞いてるけど」

私「私の最初の入院中。つまり、２０１４年。父方の祖母が亡くなり、葬儀を行った。そのとき、父の妹のうちの、幸せになった方は、来たんだけど、もうひとりは、来なかった。このとき、行方不明だと分かったのだが、ご主人と娘、息子は、来たらしい。息子について、書いたことがあったかも知れないが、現役で、東京大学理科一類に入り、数学科志望だと聞いていた。そして、いずみ野の家に来たとき、ブルバキ３７巻を見て、『おじいさん、こんな本も、持っていらしたのですか？　あっ、太郎さんの本ですね』と、一瞬で、理解したと、母が言っていた。『さすが東大』と、思ったのかも知れないが、それを、聞いて私は、『そりゃー、びっくりしたでしょ。ブルバキ全巻持っているなんて』と、言ったが、母に通じたかどうか？」

麻友「どういうことなの？」

私「その従兄弟は、大学院へ進まなかったが、あれを見たら、太郎さんは、数学者になるつもりだったんだなと、分かったと思う」

結弦「高校の数学の先生とかでなく？」

私「研究者を目指してもいない人間で、ブルバキ全巻、持っているなんて、気違い沙汰」

若菜「確かに、気違いになってる」

私「今日は、ここまでだな。湯川さんの愚問への答えになったかな？」

麻友「分からないから、愚問を投げたんだけど、ほんのちょっぴり、トートロジーというのが、分かったわ。ゆっくり進んでよ」

私「そうする。解散」

　現在２０２３年１１月１５日２１時５７分である。おしまい。