1から始める数学

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現代論理学(その40)

 現在2022年11月22日16時36分である。(この投稿は、ほぼ4548文字)

不完全性定理

麻友「太郎さん、本当に、これの、

第Ⅲ章、第Ⅳ章、第Ⅴ章、やるのね?」

若菜「どんなものが、あるのか、目次を、見てみたいです」

私「良いだろう。スキャンしてきた」

麻友「この本は、愛読書ナンバーワンに、格上げされた、『数学基礎概説』

の、第3章が、分からず、それを克服するため、読み始めた本だった。だとすると、『数学基礎概説』より、易しい?」

私「『数学基礎概説』に、不完全性定理は、書かれていないが、『現代論理学』の方が、叙述は丁寧だ」

結弦「この最後の、第Ⅴ章の不完全性定理というのが、奴さんだな」

若菜「第Ⅰ章は?」

スキャンできなかった

私「スキャンできなかった」

若菜「どうしてですか?」

私「現金が、1円足りなかった」

麻友「財布の中、29円ということ?」

私「その通り」

麻友「貧しいって、1円足りないなんて」

スマホ

若菜「第Ⅰ章だけ、スマホで、撮って下さい」

私「分かった。ポン、ポン、パッ、パッ、ポン、ポン、スーッ、スーッ、ポン、ポン、ーー」

若菜「随分、時間かかりますね」

私「速度制限は、受けてないんだけど、私のスマホ、来年の麻友さんの誕生日に、4年になる、4G(第4世代)の、一番安かった、AQUOS SENSE 2 という機種だから、世界のスピードに付いて行かれないんだ」

一番安い

麻友「一番安いって、どうして分かるの?」

私「弟が、父を、『これが、今持っているガラケーより安い、一番安いのだから』と、説得してくれて、やっと、父が、縦に首を振ったんだもの」

若菜「スマホの月額も、お父様に払ってもらっているのですか?」

私「2,038円/月だから、私が、払っている」

麻友「2,038円! それは、安いわ。働いている人、ほとんど、8,000円から、10,000円は、払ってる」

私「若い人は、3年経つ前に、新しい iPhone に換えるから、機種代も、払ってるんでしょ。私は、3年で、機種代、払いきったから、2,038円なんていう信じられない額になる」

スマホに求めるもの

結弦「次こそは、iPhone とか、思っている?」

私「最近、自分が、スマホに求めているものを、考え直すようになった。以前は、スピードとか、カメラの良さとか、メモリーの多さ、有機EL、着メロの音の良さ、使い勝手の良さ、防水、迷惑メール対策、とか、求めていたんだけど、今、新しい機種を選ぶとして、このスマホより、遅いはずはなく、カメラは、もうどの機種でも、完璧通り越している。メモリーは、本来4GByteも、必要ない。ストレージも、動画を撮らない私には、128GByteなんて、宝の持ち腐れ。最近、着メロに拘るのは、飽きた。使い勝手は、アンドロイドは、全部 Chrome に統一され、iPhone か、Android かのどちらか、もう一つ、液晶か、有機EL かのどちらか、を選ぶことしか、選択肢はない。こうなっちゃうと、機種代が安いので、いいよ。と、なってしまう」

出逢いの続き

麻友「確かに、太郎さん。パソコンでは、時代の最先端を行く、機種を使ってて、お母様や、お父様に、アドヴァイスしてた。でも、携帯は、一番悪いの渡されて、それでも、互角に勝負してきた。見てたら、パソコンに、Excel 積んでないと言ってたけど、無料の Excel が、含まれる、Office Online というのを、見つけて、出納帳を、ペーパーレス化した。太郎さん、半端ない」

若菜「結局、今のお父さんに取って、一番重要なのは、お母さんのこと、次に大事なのは、ブログなんですね。数学や物理学の本を読むのも、ブログに書いて、お母さんに、見てもらいたいから」

私「その通りだ。麻友さんが、AKB48選抜総選挙で、1位になった、2014年6月7日の15日後の6月22日に、いずみ野で倒れ、何度か入院し、2014年11月11日に、横浜市立みなと赤十字病院の精神科に入院した。これが、20年間、灰色だった、私の人生を、フルカラーに変えた。2カ月後、2015年1月15日に退院。素晴らしい躁状態で、変わり始めた人生で、青春を謳歌していた。そして、人を生き返らせる方法が、あるはずだ。と、思うようになった、数日後、麻友さんを知ることになる。2015年4月4日。いや、麻友さんに取っては、4月7日かも知れないが、これがふたりの、ツイッターという現代の意見交換・写真交換の場での出逢いだった。それから、今までのは、『出逢いの続き』(麻友さんのソロ曲の題名)だったのである」

目次

若菜「それで、目次で、説明してよ」

結弦「良く知らなかったけど、この本、第Ⅰ章が、46ページも、あって、


Ⅰ-Ⅰ トートロジー

§1 命題結合

§2 真理関数

§3 トートロジー


までは、僕達も、ゼミで、読んだな」

口頭試問

私「じゃあ、ちょっと、口頭試問。トートロジーとは、どういうことだ?」

結弦「えっと」

若菜「真偽表よ」

結弦「あっ、そうか。それぞれの命題に、真か偽か、どんな風に割り当てても、それが、絶対真になる命題のこと」

私「トートロジーとは、それに尽きる。そして、{\forall} や、{\exists} も、実は、{A \Rightarrow A \vee B} が、トートロジーなので、{A}{\forall x S(x)} とし、{B} を、{\exists y S(y)} としたとき、{A} と、{B} に代入し、{( \forall x S(x) ) \Rightarrow ( \forall x S(x) ) \vee (\exists y S(y) )} は、トートロジーの上の、恒真(こうしん)(valid)と呼ばれるものに、なるんだ。実は、第Ⅱ章、読まなくとも、大枠を、掴めるだろう」

若菜「じゃあ、第Ⅰ章や、第Ⅱ章の、残りの部分は、何が、書かれているんですか?」

意味論・構文論

私「トートロジーというのは、真か偽かと、意味を考える立場だ。これを、意味論(semantics)という。それに対し、前にも少し話したが、機械的に証明を組み立てる、構文論(syntax)という立場がある。秀才は、意味を考えて、数学の問題を解くが、秀才ではない人達は、公式を丸暗記して、機械的に当てはめて、問題を解いているのではないか? どちらの方法でも、100点取れることもある。意味論と構文論が、同値だからだ。この同値性を証明するのが、第Ⅰ章では、§13 3つの命題算の同値性 だし、第Ⅱ章では、§26 完全性定理 なんだ」

結弦「スゲッ、スゲッ、とんでもないことが、証明できるんだね。第Ⅱ章も、72ページも、あるの、納得」

若菜「そうすると、第Ⅲ章は、何が、書かれているんですか?」

私「論理学を、取り敢えず完成したものとして(一応、古典論理というものは、完成していると言える)、それを、実際に、数学に応用する。この場合、0以上の自然数からなる自然数論に、応用して、自然数の命題を証明し、証明というものは、どのように行われるのかを、つぶさに見る」

麻友「太郎さんに取って、

mayuandtaro.hatenablog.com

で、やったことは、これに、一致するはず。でも、私が、昨日言ったように、太郎さんは、{1+1+ \cdots +1} という1以上の自然数の理論に、{0} を取り込む、妙案を、模索していた。太郎さんは、『1から始める数学(その15)』で、整数を作って、{0} の存在を、構成することで、証明したが、まだ、満足していなかったのだ」

0を含む自然数

私「分かってみれば、そんなに、難しいものでは、なかったのだ。新しい定義は、


 定義 0を含む自然数

 自然数には、次の2つがある。

(ⅰ) 宝塚の自然数(つまり、{1} や、{1+1} や、{1+1+ \cdots +1}

(ⅱ) 新しい {0} という記号で、表される、ゼロという数。

 そして、宝塚の自然数同士の足し算は、これまで通りとする。

 一方、{0} に関し、

 {0} が、1つだけあるときは、書き換えない。

 {0+0} のときは、{0} に、置き換える。

 {0 ・ 0} のときは、{0} に、置き換える。

 {0+1} のときは、{1} に、書き換える。

 {1+0} のときは、{1} に、書き換える。

 この5つの置き換えを、{0} だけになるか、宝塚の自然数になるまで、続けると、その、新しく定義される、0を含む自然数においては、等号({=})は、『模様として等しい』を、採用して辺ぺんを比べられて、0以上の自然数からなる自然数論を、構成できる。

 定義 終わり


として、{\displaystyle 0’} を、{1} で、置き換える。{\displaystyle 0’’’’} を、{1+1+1+1} で、置き換え、{0} は、そのまま、{0} のままとする。こうして、いくつか、微妙なところを、定義で補うと、宝塚の自然数に、{0} を、組み込める。いや、実際、小学生は、1年生くらいから、3年生くらいになる過程で、こういう移行を、自然にやっているはずなのだ」

麻友「『現代論理学』の、後で出てくる、数詞(numeral)という概念が、分かりにくい概念なのね。だから、太郎さんが、拘った」

私「今日は、もう23時04分なので、眠い。これで解散」

 現在2022年11月22日23時05分である。おしまい。