現代論理学（その４０） - １から始める数学

　現在２０２２年１１月２２日１６時３６分である。（この投稿は、ほぼ４５４８文字）

不完全性定理
スキャンできなかった
スマホ
一番安い
スマホに求めるもの
出逢いの続き
目次
口頭試問
意味論・構文論
０を含む自然数

不完全性定理

麻友「太郎さん、本当に、これの、

現代論理学〔新装版〕

作者:安井邦夫
世界思想社

Amazon

第Ⅲ章、第Ⅳ章、第Ⅴ章、やるのね？」

若菜「どんなものが、あるのか、目次を、見てみたいです」

私「良いだろう。スキャンしてきた」

麻友「この本は、愛読書ナンバーワンに、格上げされた、『数学基礎概説』

数学基礎概説 (共立数学講座)

作者:猛, 大芝
共立出版

Amazon

の、第３章が、分からず、それを克服するため、読み始めた本だった。だとすると、『数学基礎概説』より、易しい？」

私「『数学基礎概説』に、不完全性定理は、書かれていないが、『現代論理学』の方が、叙述は丁寧だ」

結弦「この最後の、第Ⅴ章の不完全性定理というのが、奴さんだな」

若菜「第Ⅰ章は？」

スキャンできなかった

私「スキャンできなかった」

若菜「どうしてですか？」

私「現金が、１円足りなかった」

麻友「財布の中、２９円ということ？」

私「その通り」

麻友「貧しいって、１円足りないなんて」

スマホ

若菜「第Ⅰ章だけ、スマホで、撮って下さい」

私「分かった。ポン、ポン、パッ、パッ、ポン、ポン、スーッ、スーッ、ポン、ポン、ーー」

若菜「随分、時間かかりますね」

私「速度制限は、受けてないんだけど、私のスマホ、来年の麻友さんの誕生日に、４年になる、４Ｇ（第４世代）の、一番安かった、ＡＱＵＯＳＳＥＮＳＥ２　という機種だから、世界のスピードに付いて行かれないんだ」

一番安い

麻友「一番安いって、どうして分かるの？」

私「弟が、父を、『これが、今持っているガラケーより安い、一番安いのだから』と、説得してくれて、やっと、父が、縦に首を振ったんだもの」

若菜「スマホの月額も、お父様に払ってもらっているのですか？」

私「２，０３８円／月だから、私が、払っている」

麻友「２，０３８円！　それは、安いわ。働いている人、ほとんど、８，０００円から、１０，０００円は、払ってる」

私「若い人は、３年経つ前に、新しい iPhone に換えるから、機種代も、払ってるんでしょ。私は、３年で、機種代、払いきったから、２，０３８円なんていう信じられない額になる」

スマホに求めるもの

結弦「次こそは、iPhone とか、思っている？」

私「最近、自分が、スマホに求めているものを、考え直すようになった。以前は、スピードとか、カメラの良さとか、メモリーの多さ、有機EL、着メロの音の良さ、使い勝手の良さ、防水、迷惑メール対策、とか、求めていたんだけど、今、新しい機種を選ぶとして、このスマホより、遅いはずはなく、カメラは、もうどの機種でも、完璧通り越している。メモリーは、本来４GByteも、必要ない。ストレージも、動画を撮らない私には、１２８GByteなんて、宝の持ち腐れ。最近、着メロに拘るのは、飽きた。使い勝手は、アンドロイドは、全部 Chrome に統一され、iPhone か、Android かのどちらか、もう一つ、液晶か、有機EL かのどちらか、を選ぶことしか、選択肢はない。こうなっちゃうと、機種代が安いので、いいよ。と、なってしまう」

出逢いの続き

麻友「確かに、太郎さん。パソコンでは、時代の最先端を行く、機種を使ってて、お母様や、お父様に、アドヴァイスしてた。でも、携帯は、一番悪いの渡されて、それでも、互角に勝負してきた。見てたら、パソコンに、Excel 積んでないと言ってたけど、無料の Excel が、含まれる、Office Online というのを、見つけて、出納帳を、ペーパーレス化した。太郎さん、半端ない」

若菜「結局、今のお父さんに取って、一番重要なのは、お母さんのこと、次に大事なのは、ブログなんですね。数学や物理学の本を読むのも、ブログに書いて、お母さんに、見てもらいたいから」

私「その通りだ。麻友さんが、AKB48 の選抜総選挙で、１位になった、２０１４年６月７日の１５日後の６月２２日に、いずみ野で倒れ、何度か入院し､２０１４年１１月１１日に、横浜市立みなと赤十字病院の精神科に入院した。これが、２０年間、灰色だった、私の人生を、フルカラーに変えた。２カ月後、２０１５年１月１５日に退院。素晴らしい躁状態で、変わり始めた人生で、青春を謳歌していた。そして、人を生き返らせる方法が、あるはずだ。と、思うようになった、数日後、麻友さんを知ることになる。２０１５年４月４日。いや、麻友さんに取っては、４月７日かも知れないが、これがふたりの、ツイッターという現代の意見交換・写真交換の場での出逢いだった。それから、今までのは、『出逢いの続き』（麻友さんのソロ曲の題名）だったのである」

口頭試問

私「じゃあ、ちょっと、口頭試問。トートロジーとは、どういうことだ？」

結弦「えっと」

若菜「真偽表よ」

結弦「あっ、そうか。それぞれの命題に、真か偽か、どんな風に割り当てても、それが、絶対真になる命題のこと」

私「トートロジーとは、それに尽きる。そして、 ${\forall}$ や、 ${\exists}$ も、実は、 ${A \Rightarrow A \vee B}$ が、トートロジーなので、 ${A}$ を ${\forall x S(x)}$ とし、 ${B}$ を、 ${\exists y S(y)}$ としたとき、 ${A}$ と、 ${B}$ に代入し、 ${( \forall x S(x) ) \Rightarrow ( \forall x S(x) ) \vee (\exists y S(y) )}$ は、トートロジーの上の、恒真（こうしん）（valid）と呼ばれるものに、なるんだ。実は、第Ⅱ章、読まなくとも、大枠を、掴めるだろう」

若菜「じゃあ、第Ⅰ章や、第Ⅱ章の、残りの部分は、何が、書かれているんですか？」

意味論・構文論

私「トートロジーというのは、真か偽かと、意味を考える立場だ。これを、意味論（semantics）という。それに対し、前にも少し話したが、機械的に証明を組み立てる、構文論（syntax）という立場がある。秀才は、意味を考えて、数学の問題を解くが、秀才ではない人達は、公式を丸暗記して、機械的に当てはめて、問題を解いているのではないか？　どちらの方法でも、１００点取れることもある。意味論と構文論が、同値だからだ。この同値性を証明するのが、第Ⅰ章では、§１３　３つの命題算の同等性　だし、第Ⅱ章では、§２６　完全性定理　なんだ」

結弦「スゲッ、スゲッ、とんでもないことが、証明できるんだね。第Ⅱ章も、７２ページも、あるの、納得」

若菜「そうすると、第Ⅲ章は、何が、書かれているんですか？」

私「論理学を、取り敢えず完成したものとして（一応、古典論理というものは、完成していると言える）、それを、実際に、数学に応用する。この場合、０以上の自然数からなる自然数論に、応用して、自然数の命題を証明し、証明というものは、どのように行われるのかを、つぶさに見る」

麻友「太郎さんに取って、

mayuandtaro.hatenablog.com

で、やったことは、これに、一致するはず。でも、私が、昨日言ったように、太郎さんは、 ${1+1+ \cdots +1}$ という１以上の自然数の理論に、 ${0}$ を取り込む、妙案を、模索していた。太郎さんは、『１から始める数学（その１５）』で、整数を作って、 ${0}$ の存在を、構成することで、証明したが、まだ、満足していなかったのだ」

０を含む自然数

私「分かってみれば、そんなに、難しいものでは、なかったのだ。新しい定義は、

　定義　０を含む自然数

　自然数には、次の２つがある。

（ⅰ）　宝塚の自然数（つまり、 ${1}$ や、 ${1+1}$ や、 ${1+1+ \cdots +1}$ ）

（ⅱ）　新しい ${0}$ という記号で、表される、ゼロという数。

　そして、宝塚の自然数同士の足し算は、これまで通りとする。

　一方、 ${0}$ に関し、

　 ${0}$ が、１つだけあるときは、書き換えない。

　 ${0+0}$ のときは、 ${0}$ に、置き換える。

　 ${0 ･ 0}$ のときは、 ${0}$ に、置き換える。

　 ${0+1}$ のときは、 ${1}$ に、書き換える。

　 ${1+0}$ のときは、 ${1}$ に、書き換える。

　この５つの置き換えを、 ${0}$ だけになるか、宝塚の自然数になるまで、続けると、その、新しく定義される、０を含む自然数においては、等号（ ${=}$ ）は、『模様として等しい』を、採用して辺ぺんを比べられて、０以上の自然数からなる自然数論を、構成できる。

　定義　終わり

として、 $0’$ を、 ${1}$ で、置き換える。 $0’’’’$ を、 ${1+1+1+1}$ で、置き換え、 ${0}$ は、そのまま、 ${0}$ のままとする。こうして、いくつか、微妙なところを、定義で補うと、宝塚の自然数に、 ${0}$ を、組み込める。いや、実際、小学生は、１年生くらいから、３年生くらいになる過程で、こういう移行を、自然にやっているはずなのだ」