宝塚の自然数の乗法の交換法則

　現在２０２２年１２月８日２２時０３分である。（この投稿は、ほぼ３１３６文字）

麻友「今日も、まだ、鬱から抜け出せないの？」

私「どうしても、本調子になれない」

若菜「宝塚の自然数の乗法の定義は、何度か、変えたのですよね」

私「そう。一応、どう決着を付けたか、書いておきたい。

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　定義　３９　　自然数の乗法　（定義３５，３７改）

${A=1+1+1+1,B=1+1+1}$ とするとき、 ${A \times B}$ を次のように定義する。

${~~~~~~B~~~=~~~~~~~~~1~~~~~~~~~~~~+~~~~~~~~~~~~1~~~~~~~~~~~~~~+~~~~~~~~~~~1}$

${~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\downarrow ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\downarrow ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\downarrow}$

${A \times B =(1+1+1+1)+(1+1+1+1)+(1+1+1+1)}$

　つまり、 ${4 \times 3}$ で、 ${4}$ が、 ${3}$ 個だから、 ${B}$ の３つの ${1}$ を、 ${A}$ の ${1+1+1+1}$ で、置き換えたんだ。

　代入したと言ってもよい。

　定義　３９　終わり

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　　　　　　　　　　　　　　　（『０から始める数学（その７） - １から始める数学』より）

とした」

麻友「そういうことも、あったわね」

私「この定義を、もとに、乗法の交換法則を、証明する。

　定理　３８（改）　　乗法の交換法則

　 ${m,n}$ を宝塚の自然数とするとき、 ${m \times n=n \times m}$ が、成り立つ。

という定理だ。

　さて、これを、証明するとき、次のように、やる。

　第１段階

　任意の自然数、 ${m}$ について、 ${n=1}$ のとき、成り立つことを、証明する。

${m \times n=n \times m}$ で、左辺は ${m \times 1}$ であるから、 ${m}$ を ${1}$ に代入して、

${~~~~~~~~1=1}$
${~~~~~~~~~~~~~~~\downarrow}$
${m \times 1 = m}$

　一方右辺は、 ${1 \times m}$ であるから、 ${1}$ を、 ${m}$ 個の ${1}$ に代入して、

${~~~~~~~m=\overbrace{1+ \cdots +1}^m}$
${~~~~~~~~~~~~~~~\downarrow~~~~~~~~~~~~~\downarrow}$
${1 \times m = \underbrace{1+ \cdots +1}_m}$

である。従って、両辺が等しくて、 ${n=1}$ のとき、成り立つ。

「なんか、当たり前の気がするけど」

　いや、いつも、第１段階は、こうなんだ。

　第２段階

　任意の自然数、 ${m}$ について、自然数 ${k}$ 以下のすべての自然数 ${n}$ について、定理が成り立つとして、 ${n=k+1}$ でも定理が成り立つことを、証明する。

　仮定より、 ${m \times k=k \times m}$ である。

　 ${m \times (k+1) =(k+1) \times m}$ を、証明したい。

　さて、左辺を計算して、右辺を導出できれば良いが、途中で、行き詰まる。

　こういうときは、右辺の方から、お迎えに行った方が、良いこともある。

${~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~m= \overbrace{1+ \cdots \cdots \cdots +1}^m}$ 　　つまり ${(k+1)}$ が ${m}$ 個。
${~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\downarrow~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\downarrow}$ 　　 ${m}$ 個の ${1}$ に ${(k+1)}$ を代入。
${(k+1) \times m = \underbrace{(k+1)+ \cdots +(k+1)}_m}$

　右辺を整理して、

${~~~~~~~=k \times m +m}$

　帰納法の仮定より、 ${m \times k=k \times m}$ である。よって、

${~~~~~~=m \times k + m}$

${~~~~~~~~~~~k+1= \overbrace{1+ \cdots +1}^k~+1}$
${~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\downarrow~~~~~~~~~~~~~\downarrow~~~~ \downarrow}$ 　　 ${m \times k}$ を ${k}$ 個の ${1}$ に ${m}$ を代入したと捉える。
${m \times k + m= \underbrace{m+ \cdots +m}_k +m}$

${~~~~~~~~~~~k+1= \overbrace{1+~ \cdots ~+1}^{k+1}}$ 　　 ${1}$ が ${k+1}$ 個と捉える。
${~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\downarrow~~~~~~~~~~~~~~\downarrow}$ 　　仲間はずれの、 ${m}$ を加えて、まとめる。
${m \times (k + 1)= \underbrace{m+ \cdots +m}_{k+1}}$ 　　 ${m}$ が ${k+1}$ 個と捉える。