現代論理学（その２９） - １から始める数学

　現在２０２１年７月１日１７時５３分である。（この投稿は、ほぼ４９７９文字）

私「『現代論理学』と、『数学基礎概説』は、どちらも、ちょっとずつ進める。差し当たって、今日は、『現代論理学』だ。前回、３人が若いということで、論理学の『 ${\supset}$ 』を、『 ${\Rightarrow}$ 』に置き換えることを、今後も続けることになった。前回のことを、思い出しながら、以下を見て欲しい」

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安井邦夫『現代論理学』（世界思想社）

現代論理学

作者:邦夫, 安井
世界思想社

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の、８ページの５行目から」

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　ところで，われわれは上にとりあえず５つの結合子を採用したが，真理関数という観点から見れば，これらの結合子は互いに還元可能である．つまり次のような等式が成立する．〔この場合，等号 ${=}$ は，左辺と右辺の論理式が（ ${A,B}$ に任意の真理値を与えた場合に）常に同一の値をとることを表している．〕

${(A \equiv B)=\{(A \Rightarrow B) \wedge (B \Rightarrow A)\}}$ 　　　　　（１）

${(A \Rightarrow B )=(\neg A \vee B)}$ 　　　　　　　　　　　　（２）

${(A \Rightarrow B )=\neg (A \wedge \neg B)}$ 　　　　　　　　　　　（３）

${(A \wedge B )= \neg (\neg A \vee \neg B)}$ 　　　　　　　　　　　（４）

${(A \wedge B )= \neg (A \Rightarrow \neg B )}$ 　　　　　　　　　　　（５）

${(A \vee B )= \neg (\neg A \wedge \neg B)}$ 　　　　　　　　　　　（６）

${(A \vee B )= ( \neg A \Rightarrow B )}$ 　　　　　　　　　　　　（７）

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${(A \equiv B)=\{(A \Rightarrow B) \wedge (B \Rightarrow A)\}}$ 　　　　　（１）

１　１　１　１　１　１　１　１　１　１

１　０　０　１　０　０　０　０　１　１

０　０　１　０　１　１　０　１　０　０

０　１　０　０　１　０　１　０　１　０
私「↑ココ　　　　　　　　↑ココ

この２箇所が、どの場合にも、同じになっているでしょう。だから、左辺と右辺の論理式が（ ${A,B}$ に任意の真理値を与えた場合に）常に同一の値をとるわけで、こういう場合、等号で結ぶことにした、というわけなんだ。少なくとも、（１）に関しては、 ${A,B}$ に任意の真理値を与えた場合に、常に同一の値を取っているでしょ」

若菜「うーん。なんか、変ですね。なぜ、それを、 ${\equiv}$ と、書いては、いけないのでしょう」

麻友「私も、そう思った。真偽が一致するのが、 ${\equiv}$ の同値でしょう」

私「そのことでは、私も、随分頭を悩ませた。だが、数学が分からないときに、取るべき手段というものが、いくつかあるのだが、そのいずれもが、手を動かすことなんだ。まず、

（１）そこで使われている記号の定義を、確認する。なるべくなら、定義を、書き写す。

（２）何かを代入できる変数があるのなら、それに、具体的な数か、何かを、いくつか、代入してみる。その場合も、なるべくなら、頭で考えているだけでなく、手で書いてみる。

（３）分からない式自体を、ノートに、書き写してみる。

（４）分からないのが、式や数でなく、何か名前の付いている概念の場合、その分からないものが、何かに対して、働きかけて、それが、別なものを、生み出している場合、それは、広い意味で、関数とか、写像と、呼ばれるものだから、どういうものから、どういうものを、生み出しているかを具体的に探って、関数とか、写像として捉える。

（５）ここまで、やっても、駄目な場合。私には、実際そういうものが、ありました。ホモロジー代数とか、圏論と言われるものでした。大学１年生（１９９１年）から、ずっと分からなくって、２０２０年になって、『圏論の歩き方』という本を見ていて、今までの知識が結びつき合って、分かったのです。

（５）までやらなくてもいいですから、（１）～（４）まで、試して見て下さい」

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結弦「結局、等号『 ${=}$ 』と、同値『 ${\equiv}$ 』の、違いは？」

私「上に、『数学が分からないときに、取るべき手段』というものを、５つ書いたのだが、実はもうひとつあるんだ」

若菜「どんなの？」

私「上に挙げたものは、どれも手を動かすものだ。次のものは、ちょっと違う。分からないことがあるとき、取り敢えずそれは認めることにして、先に進んじゃうという方法」

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分からない言葉にぶつかったとき、取り敢えず『そういうものが、あるんだ』と、思って先に進むのも、ひとつの方法

より抜粋。

若菜「お父さんは、マヤのように、そういうなにかが、あると、思うだけで、進める人。でも、何かを理解するときに、徹底的に拘るところは、亜弓的。お父さんは、主に数学ができない人に、『もうちょっと辛抱強く、数学の本を読んでみろ』と、言いたいのかも知れませんね」

私「小説じゃないんだから、読むだけで分かるわけないよ。ノートとシャーペンを、用意して、定義を写したり、式変形や、計算を、自分でやってみなきゃ」

結弦「お父さん、十分努力してるんだな」

私「『辛抱強く、数学の本を、読んでみろ』というのと平行して、ある本で躓いたから、数学は駄目だ、と思わない方がいい。『同じことを、もっと易しく書いた本が、大抵の場合ある』というのは、肝に銘じていた方が良い」

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　　　　　　　　　　（相対論のブログの『分からない言葉にぶつかったとき、取り敢えず『そういうものが、あるんだ』と、思って先に進むのも、ひとつの方法』という投稿より）

若菜「ああ、こういうこと、相対論のブログでありましたね」

麻友「そうすると、等号『 ${=}$ 』と、同値『 ${\equiv}$ 』の、違いは、今は分からないまま、先に進んだ方が、良いというの？」

私「もうちょっと、先に進んで、トートロジーというものを、学んでから、考えた方がいい」

若菜「じゃあ、（２）～（７）も、保留で、先に進んでみましょう」

私「復習も含めて、８ページの１０行目から、

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${(A \equiv B)=\{(A \Rightarrow B) \wedge (B \Rightarrow A)\}}$ 　　　　　（１）

${(A \Rightarrow B )=(\neg A \vee B)}$ 　　　　　　　　　　　　（２）

${(A \Rightarrow B )=\neg (A \wedge \neg B)}$ 　　　　　　　　　　　（３）

${(A \wedge B )= \neg (\neg A \vee \neg B)}$ 　　　　　　　　　　　（４）

${(A \wedge B )= \neg (A \Rightarrow \neg B )}$ 　　　　　　　　　　　（５）

${(A \vee B )= \neg (\neg A \wedge \neg B)}$ 　　　　　　　　　　　（６）

${(A \vee B )= ( \neg A \Rightarrow B )}$ 　　　　　　　　　　　　（７）

　これらの等式を見ると，たとえば（６）により， ${\vee}$ は、 ${\neg}$ と ${\wedge}$ とで定義可能である。また（３）により， ${\Rightarrow}$ も ${\neg}$ と ${\wedge}$ とで定義可能であり，さらに（１）により， ${\equiv}$ も ${\Rightarrow}$ と ${\wedge}$ とで（したがって ${\neg}$ と ${\wedge}$ とで）定義可能となる。したがって， ${\vee,\Rightarrow,\equiv}$ の３つの結合子はすべて ${\neg}$ と ${\wedge}$ とで表現できると言える．同様に， ${\neg}$ と ${\vee}$ とで他のすべての結合子を表現することができ，また ${\neg}$ と ${\Rightarrow}$ の組合せでも他のすべてを定義しうる．こうして若干の結合子を基本記号として置き，他の結合子を派生記号とみなせば，結合子の数を絞ることができる．しかし，他方では，結合子の数を切りつめればそれだけ論理式の表現が長くなり，論理式の意味の読み取りが困難になるということもある．したがって，その点の考慮も必要であり，以下しばらくは，上の５つの結合子を用いることにする．（のちのⅠ-Ⅲでは， ${\neg}$ と ${\Rightarrow}$ を基本記号とする体系をとりあげる．）

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　　　　　　　　　　　　　　　　　　（『現代論理学』８ページ下まで）

結弦「上の（１）～（７）を、認めると、論理記号が、絞れるんだな。前にも似たようなことを、やったな」

私「ブルバキが、 ${\vee}$ と、 ${\neg}$ だけから始めているというようなことを、書いたかもな」

麻友「等号『 ${=}$ 』と、同値『 ${\equiv}$ 』の、違いは、余り分からないけど、等号の両辺が、同じとするなら、 ${\neg}$ と ${\vee}$ とで他のすべての結合子を表現することができるっていうの、なんとなく分かるわね。ブルバキも、それに立脚してるのか。太郎さんが、ブルバキやるのに、『現代論理学』やっておくと良いと、言ってた理由、少し分かった」

若菜「そもそも、なんで、記号論理学なんて、やらなければならないの？　という感じでしたが、お父さんに騙されて、かなり記号論理学に、踏み込みましたね」

私「ここから、どんどん、計算みたいに、手を動かして、式を書く作業が、始まる。手を動かすことを厭わず、『正しい』とはどういうことか？　身をもって、感じ取って欲しい」

麻友「数学において、私に取って、正しいとは、どういうことかね」

私「そうだ」

結弦「恐ろしー」

若菜「あの２人には、付いて行かれませんね」

私「次のセクションは、トートロジーだ。楽しみにしてて」

若菜・結弦「おやすみなさーい」

麻友「おやすみ」

私「おやすみ」

　現在２０２１年７月１日２１時３５分である。おしまい。