現代論理学（その２８) - １から始める数学

　現在２０２１年６月２４日１８時３２分である。（この投稿は、ほぼ５７８０文字）

麻友「太郎さん。今日の夕食、お張り込みねえ」

私「馬鹿、言っちゃいけない。たかが西友の、６８０円のうな重くらいで」

若菜「でも、今年最初の、うな重ですよね」

私「火曜日に、ポートに行ったとき、メンバーの人から、『松田さん、痩せたんじゃない？』って、言われたんだ」

若菜「痩せたんですか？」

私「可能性は、あるんだ。今まで、マックで、ビッグマックセットなどを、食べていた。ビッグマックと、ポテトのMと、QooなどのドリンクのMだ」

結弦「セットを止めた？」

私「止めてはいない。ただ、ポテトのMを、サラダにしてもらうように、なったんだ。飲み物も、爽健美茶にするように、なった」

若菜「どうして、マックに行くんですか？」

私「これは、しょうが無いんだよ。勉強道具を持ち込んで、数学や物理学を、自由に勉強できる場所は、限られているんだ」

麻友「男の人が、退職した後、行く場所に困るというのは、太郎さんを見てると、良く分かるわねえ」

私「そういう、麻友さんこそ、去年の５月３１日に、芸能界を引退した後、どんな暮らしをしてるんだい？　もう１年以上に、なるけど」

麻友「太郎さんに見せるのに、ピッタリのニュースが、あるのよ。これ」

ご当地アイドルと「交際」を主張し謝罪要求、逮
捕の６３歳男「結婚報告を受けるとは思わず」

news.livedoor.com

私「確かに、麻友さんが、自分に似たケースの事件と、思っても、当然だね。ただ、やっぱり、こういう風に、捕まる人というのは、あらかじめ、何度も警告を受けているんだよね。共産圏とか、独裁国家だと、いきなり逮捕監禁なんてことに、なるけど、民主主義国家で、資本主義の国で、いきなり逮捕、なんていうことは、普通ないんだ。私は、麻友さんの側から、こういうことは、止めて下さい、というようなことは、１度も言われてない。かすかに１度、こういうことは、しないで下さいと言われたのは、Ｗ３Ｍ∞の壁紙を、２枚、ブログに貼っちゃったときだよね」

麻友「太郎さんは、私が、太郎さんを、どう思っていると、思っているの？」

私「これね、語るに落ちる、じゃないけど、どう書いても意味がないんだ。麻友さんは、私が思っているより遥かに感情的にならない人で、私のことを、利用できる限り利用しようと、思っている。自分の一番好きな男の人は、井上芳雄さんで、『太郎さんなんて、好きになるわけないじゃない』と思いつつ、私が、麻友さんに説明するんだ、と言って、相対性理論、論理学、恋愛、結婚、円周率、量子力学、分子生物学、新型コロナウイルス、原子力発電所、ブルバキ、ランダウ、幾何学、などなど、自分に献じられたものだと思わなければ、結構面白いことを、書いてくるのを、アイディア製造器として、壊れるか、悪いことするように、なるまで、動かしておこうと思っている」

麻友「そう、確かに、太郎さんって、面白いのよ。現在の若者のように、スマホや、プログラミングで、頑張ることは、できないんだけど、私より２３歳も年上で、私と、笑いのツボもずれてて、それがまた、楽しい」

若菜「お二人、まだ、会わないのですか？」

私「実は、今日、この記事書いた後、『駆け落ちのシミュレート（その９）』を、書こうと思っているんだ。駆け落ちだよ」

結弦「お父さんもまだ、直接会うのは、恥ずかしいなあ、とか、思ってるの？」

私「麻友さんの顔は、写真でも、『あっ』って気付くぐらい、脳にインプットされてて、声も、多分、分かる。ただ、女の人って、お化粧で、いくらでも化けられて、声も、他の人の声かと思うような声を出せる。麻友さんに、そんなことされたら、私にも分からないかも、知れない。いずれにせよ、もう会って、逃げ出すことは、ないだろう」

麻友「太郎さんの、私への、捧げ物のひとつ、『現代論理学』だったわね。今まで、易しかったけど、ここから一気に難しくなるんじゃない？　だから、１年近く、ほっぽってあった」

私「実は、そうだ。始めるよ

安井邦夫『現代論理学』（世界思想社）

現代論理学

作者:邦夫, 安井
世界思想社

Amazon

の、８ページの５行目から」

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　ところで，われわれは上にとりあえず５つの結合子を採用したが，真理関数という観点から見れば，これらの結合子は互いに還元可能である．つまり次のような等式が成立する．〔この場合，等号 ${=}$ は，左辺と右辺の論理式が（ ${A,B}$ に任意の真理値を与えた場合に）常に同一の値をとることを表している．〕

${(A \equiv B)=\{(A \Rightarrow B) \wedge (B \Rightarrow A)\}}$ 　　　　　（１）

${(A \Rightarrow B )=(\neg A \vee B)}$ 　　　　　　　　　　　　（２）

${(A \Rightarrow B )=\neg (A \wedge \neg B)}$ 　　　　　　　　　　　（３）

${(A \wedge B )= \neg (\neg A \vee \neg B)}$ 　　　　　　　　　　　（４）

${(A \wedge B )= \neg (A \Rightarrow \neg B )}$ 　　　　　　　　　　　（５）

${(A \vee B )= \neg (\neg A \wedge \neg B)}$ 　　　　　　　　　　　（６）

${(A \vee B )= ( \neg A \Rightarrow B )}$ 　　　　　　　　　　　　（７）

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麻友「１年ぶりで、思い出せない。具体的に、説明して」

私「当然だね。まず（１）だけど、左辺と右辺の ${A}$ に ${1}$ （つまり真）を、代入し、 ${B}$ に、 ${0}$ （つまり偽）を、代入してみよう」

若菜「そうすると、左辺の ${(A \equiv B)}$ は、 ${A}$ と、 ${B}$ が、同値。つまり、真偽が、同じ。つまり、 ${A}$ と、 ${B}$ が、どっちも、真か、どっちも、偽って、ことですよね」

結弦「『どっちも、偽って、こと』、とか言ってるけど、その場合どうなの？」

若菜「あーだから、どっちも真か、どっちも偽のとき、 ${(A \equiv B)}$ は、真だってこと」

結弦「そうでないときは、 ${(A \equiv B)}$ は、偽ってことかな？」

私「そうだ。どうだい麻友さん、思い出して来たかい？」

麻友「まだ私は、２７歳ですからね。完璧に思い出したわよ」

私「ところで、３人に相談なんだけどね、上の式の右辺で、私は、

${\{(A \Rightarrow B) \wedge (B \Rightarrow A)\}}$

と、書いている。これが、元の『現代論理学』の本では、

${\{(A \supset B) \wedge (B \supset A)\}}$

と、なっているが、この ${\supset}$ という記号は、論理学の記号で、数学での ${\Rightarrow}$ に当たるものだから、どうせ、私達は、数学で使うのだから、初めから、 ${\Rightarrow}$ で、通そうという約束で、進んで来たのだったよね」

若菜「ドラえもんのブログの『数Ⅲ方式ガロアの理論と現代論理学（その１６）』の記事ですね。あんな、時期もありましたね」

麻友「そう言われれば、私達、論理学についても、大分詳しくなったわね」

私「そう。詳しくなった。そこで、時代に逆行するようなんだけどね。この ${\Rightarrow}$ を、 ${\supset}$ に戻そうかと思うんだけど」

麻友「どうして？」

私「理由は、簡単なんだ。相対論のブログで、『数学基礎概説』を、始めただろう。あれで、私のノートを、スキャンしている。私のノートは、『数学基礎概説』の通りになっているので、第１章から第３章まで、 ${\supset}$ で、書いてある。手書きのノートだから、直しようがない」

若菜「そんな古いのに、従うのは、お父さんらしくもない。『数学基礎概説』のノートでも、数学に入った第４章から、 ${\Rightarrow}$ になるんでしょ。だったら、『数学基礎概説』のノートの最初の方を、私達が、読み換えればいいだけじゃ、ないですか」

結弦「うん」

麻友「太郎さんの頭でも、老化するか」

私「分かった。じゃあ、皆の若さを、信じよう」

麻友「さっきの（１）は？」

私「バカ正直にやってみせるというのも、ときには、必要だろう。見ててごらん」

${(A \equiv B)=\{(A \Rightarrow B) \wedge (B \Rightarrow A)\}}$ 　　　　　（１）

１　　１　　　１　　１　　１　　１

１　　０　　　１　　０　　０　　１

０　　１　　　０　　１　　１　　０

０　　０　　　０　　０　　０　　０

私「と、 ${A}$ と、 ${B}$ に、すべての真偽の場合を、割り当てる。次に、論理記号を、真理関数とみて、計算していく」

${(A \equiv B)=\{(A \Rightarrow B) \wedge (B \Rightarrow A)\}}$ 　　　　　（１）

１　１　１　　１　１　１　１　１　１
　　↑同じだから１
１　０　０　　１　０　０　０　１　１
　　↑違うから０
０　０　１　　０　１　１　１　０　０

０　１　０　　０　１　０　０　１　０

私「一度分かれば、ルーチンワークになる」

${(A \equiv B)=\{(A \Rightarrow B) \wedge (B \Rightarrow A)\}}$ 　　　　　（１）

１　１　１　１　１　１　１　１　１　１

１　０　０　１　０　０　０　０　１　１

０　０　１　０　１　１　０　１　０　０

０　１　０　０　１　０　１　０　１　０

私「これで、揃ったんだよ」

${(A \equiv B)=\{(A \Rightarrow B) \wedge (B \Rightarrow A)\}}$ 　　　　　（１）

１　１　１　１　１　１　１　１　１　１

１　０　０　１　０　０　０　０　１　１

０　０　１　０　１　１　０　１　０　０

０　１　０　０　１　０　１　０　１　０
私「↑ココ　　　　　　　　↑ココ

この２箇所が、どの場合にも、同じになっているでしょう。だから、左辺と右辺の論理式が（ ${A,B}$ に任意の真理値を与えた場合に）常に同一の値をとるわけで、こういう場合、等号で結ぶことにした、というわけなんだ。少なくとも、（１）に関しては、 ${A,B}$ に任意の真理値を与えた場合に、常に同一の値を取っているでしょ」

若菜「うーん。なんか、変ですね。なぜ、それを、 ${\equiv}$ と、書いては、いけないのでしょう」

麻友「私も、そう思った。真偽が一致するのが、 ${\equiv}$ の同値でしょう」

私「そのことでは、私も、随分頭を悩ませた。だが、数学が分からないときに、取るべき手段というものが、いくつかあるのだが、そのいずれもが、手を動かすことなんだ。まず、

（１）そこで使われている記号の定義を、確認する。なるべくなら、定義を、書き写す。

（２）何かを代入できる変数があるのなら、それに、具体的な数か、何かを、いくつか、代入してみる。その場合も、なるべくなら、頭で考えているだけでなく、手で書いてみる。

（３）分からない式自体を、ノートに、書き写してみる。

（４）分からないのが、式や数でなく、何か名前の付いている概念の場合、その分からないものが、何かに対して、働きかけて、それが、別なものを、生み出している場合、それは、広い意味で、関数とか、写像と、呼ばれるものだから、どういうものから、どういうものを、生み出しているかを具体的に探って、関数とか、写像として捉える。

（５）ここまで、やっても、駄目な場合。私には、実際そういうものが、ありました。ホモロジー代数とか、圏論と言われるものでした。大学１年生（１９９１年）から、ずっと分からなくって、２０２０年になって、『圏論の歩き方』という本を見ていて、今までの知識が結びつき合って、分かったのです。

（５）までやらなくてもいいですから、（１）～（４）まで、試して見て下さい」

麻友「でも、今日はもう、２２時４６分だから、寝たら」

私「『駆け落ちのシミュレート（その９）』は、書けなかった。済まない」

若菜「よく、お母さんに好かれていると、信じられますね」

結弦「お父さん、鈍いんだよ」

私「それじゃ、解散」

　現在２０２１年６月２４日２２時５１分である。おしまい。