現代論理学（その３７） - １から始める数学

　現在２０２２年５月８日１５時３４分である。（この投稿は、ほぼ７０３３文字）

麻友「太郎さん。昨日、コンパスと定規で、正五角形作図してって、言ってたわね。『正五角形　書き方』と、ググったら、出てきた。でも、太郎さんが浪人中なんて、インターネットは、なかった。どうして、作図法、知ってたの？」

私「今でもあるかどうか知らないけど、私の頃は、中学で技術家庭科という教科があった。女の子は、調理や裁縫を習い、男の子は、製図やラジオの作り方、などを習った」

若菜「もの凄い、男女差別ですね」

私「でも、私が本で調べて、これは難しそうだと思って、先日の法子さんに、調理中、大根が出てきたとき、『『かつらむき』というのがあるそうですね』と言ったら、『こうやるんですよ』と、指を怪我することもなく、スーッスーッスーッと、剥いて見せてくれた。女の人で、かつらむきもできないなんて、恥ずかしい。それくらいに、女の人は、鍛えられているんだな。と、驚いたものだった」

麻友「かつらむきか」

若菜「お母さんも、『自分で空揚げ、揚げちゃった』という記事もありましたが」

麻友「どんなに、男女平等と言っても、女の人が、料理もできないようじゃ、と言われる。太郎さんは、決して、頭が古いわけではないけど、これは、どうすることも、できない」

私「中学に入って、男の子は、技術のために、三角定規と、コンパスを、買いなさいと、言われた。だが、私は、父と母に、コンパスは、お父さんの西ドイツ製のものを、借りて使うから、三角定規は、学校指定のものではなく、横浜の有隣堂で売っている、ちゃんとしたものを、買って欲しいと、言った」

結弦「『コンパスは、お父さんのを、使うから、三角定規は、学校指定のものを、買って』じゃないの？」

私「私は、後で、母が買ってきてくれた、三角定規を、学校指定のものと比較した。学校指定のものは、厚さが２mmなのに対し、有隣堂のは、厚さ３mmだった」

麻友「それで、西ドイツ製のコンパスというのは？」

私「父が、言ってたのだ。昔は、図面を描くとき、全部手で描くから大変だった。だから、コンパス、デバイダーの他にも、それらを、インクで描けるようにするものとか、コンパスを延長するものとか、色んな補助の部品がある。だけど、お父さんは、他の全部を買えるくらいのお金で、このコンパスとデバイダーだけを、買ったんだ。壊すなよ。とね」

若菜「それ知ってて、そのコンパス使ってたんですか？」

私「そういう子供だったんだよ。妹には、悪かったけど、妹には、おじいちゃんの部品の沢山あるコンパスを、使わせていた」

若菜「悪いお兄ちゃんですね」

私「私が持ってたから、傷ひとつない」

若菜「今でもあるんですか？」

私「ほらっ、

ね」

麻友「太郎さん。確かに、期待をされているのも、分かってたし、それに応えることも、してた。その中学の技術の時間に、コンパスと定規で、正五角形を作図する方法を、習ったのね」

私「一応、これで、正五角形を描けるけど、ほんの少し誤差がある、というようなことは、聞いた。今計算しているところが、写真のコンパスの下に書かれているが、何が誤差なのか、ちょっと、分からない」

若菜「正五角形ということは、黄金比のはずですから、 $1~ :~ \frac{1+\sqrt{5}}{2}$ で、お父さんの式にも、 $\sqrt{5}$ が現れてますから、大丈夫なんじゃないですか？」

私「そうなのかなあ？」

若菜「さて、昨日の話が、出たところで、昨日の続きを、やりましょう」

現代論理学〔新装版〕

作者:安井邦夫
世界思想社

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私「本文を、読み込もう」

結弦「ちょっと、今の話から、頭を切り換えるのが、追い付かない。そもそも、なんで、コンパスと定規だったの？」

私「これは、今みたいに、CAD なんかが使える時代には、意味がないんだよ。要するに、図面を描くのに、定規とコンパス以外、信頼できるツールがない時代、正五角形が、作図できるかどうかが、問題だった。正三角形は描ける。正四角形は、描ける。正五角形は描ける。正六角形は描ける。でも、正七角形は、定規とコンパスで、作図できないということが、分かっている」

麻友「素数だと、駄目なの？」

若菜「５は素数ですが」

私「ぱっぱっぱっ」

若菜「どうして、その本だって、分かるんですか？」

私「図書館に行けば、分かる。と言われても、自分の手の届くところに置いておこうとするのは、電光石火でその本が、見られなければ、駄目だからだ」

結弦「『初等整数論講義』と、『代数学講義』

初等整数論講義第2版

作者:高木貞治
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代数学講義改訂新版

作者:高木貞治
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の２冊」

私「２より大きい素数 ${p}$ で、正 ${p}$ 角形の作図が可能なのは、 ${p=2^m+1}$ と整数、 ${m}$ で、表されるとき。だけど、 ${2^m+1}$ が素数になるのは、 ${m}$ が、 ${2}$ のベキのときのみ。 ${2^1=2}$ 、 ${2^2=4}$ 、 ${2^3=8}$ 、 ${2^4=16}$ 、だから、

${2^2+1=5}$ で、確かに正五角形は、作図できる。

${2^4+1=17}$ と、１７まで、飛び、７、１１、１３は、作図できないと、考察できる。そして、正１７角形こそ、１７９６年３月３０日の朝、１９歳のガウスが、目ざめて臥床（がしょう）から起き出ようとする刹那（せつな）に、作図できるという証明を思い付いたのであり、ガウスは、これをもって、数学者になる決心をしたという。実は、ガウスは、文学青年で、本当は、詩人になっていたかも知れないのだ。数学者になってくれて、本当に有り難い」

結弦「文献の大切さは、分かった。論理学、始めていいよ」

私「それでは、復習から、

＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊

　そして，このように定義すれば，さらに日常語による推論についても同様に考えることができる．たとえば ${\S 1}$ の冒頭の

${1+2}$ が ${4}$ であるなら，雪は黒い．

${1+2}$ は ${4}$ である．
${\rule{7cm}{0.3mm}}$
ゆえに，雪は黒い．

という推論を例にとるなら，この推論の「正しさ」は次のように示される．まず適当な要素命題記号を用いてこの推論を記号化すると，たとえば

${p_1 \Rightarrow p_2 ,~p_1 \longrightarrow p_2}$

という推論式が得られる．そこで，この推論式に対応する論理式をもとめれば，

${((p_1 \Rightarrow p_2) \wedge p_1) \Rightarrow p_2}$

という論理式が得られ、これはトートロジーである．したがって，もとの推論は正しいというわけである． ${\S 1 }$ の冒頭で，推論の正しさは，推論を構成している個々の命題の内容的な真偽にではなく，推論が全体としてもつ「型」に依存していると述べられたが，どのような型が「真なる」型であるかは，今の場合、トートロジーという概念により決定されているわけである．

＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
　　　　　　　　　　　　　　　（『現代論理学』１０ページから）

麻友「『適当な要素命題記号を用いて』って、部分が、分からない」

私「無理だよねー。いきなりこんなの。

${p_1}$ 　 ${1+2}$ が ${4}$ である。

${p_2}$ 　雪が黒い。

と、するということだよ」

若菜「そうすると、

${p_1 \Rightarrow p_2}$ は、 ${1+2}$ が ${4}$ であるなら、雪は黒い。

ということ」

結弦「当然、

${p_1 \Rightarrow p_2, p_1}$ は、 ${1+2}$ が ${4}$ であるなら、雪は黒い。であり、 ${1+2}$ が ${4}$ である。

だな」

麻友「美味しいところを、ゴメンネ。

${p_1 \Rightarrow p_2, p_1 \longrightarrow p_2}$ は、 ${1+2}$ が ${4}$ であるなら、雪は黒い。であり、 ${1+2}$ が ${4}$ である。よって、雪は黒い。

という推論を、したということね。

でも、 ${\Rightarrow}$ と、 ${\longrightarrow}$ は、どう使い分けられているの？」

私「実は、ここまでのところでは、 ${\longrightarrow}$ は、定義されていない。これが、『よって』などと呼んで良いものかどうか、分かってないんだ」

麻友「じゃあ、 ${\longrightarrow}$ は、どう定義するの？」

私「１０ページの前半で、

＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊

${~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~A_1,A_2,\cdots ,A_n \longrightarrow B}$ 　　　（１）

そこで,こうした推論について「論理的に真」ということを定義するために，それに次のような論理式を対応させる．

${~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(A_1 \wedge A_2 \wedge \cdots \wedge A_n) \Rightarrow B}$ 　　　（２）

＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊

という話があったのを、思い出して欲しい」

麻友「そうすると、

${p_1 \Rightarrow p_2, p_1 \longrightarrow p_2}$

は、

${((p_1 \Rightarrow p_2) \wedge p_1) \Rightarrow p_2}$

と、ひとつの論理式になる」

若菜「でも、変だと思いません？　 ${\Rightarrow}$ は、真偽表で、定義されたものでした。でも、 ${\longrightarrow}$ は、『よって』という推論の式のものでした。それを、同じものにしてしまうなんて」

私「矢印が出て来るたびに、悩んだ。この矢印のジレンマを解消してくれたのは、ブルバキだった。 ${\vee\neg}$ を、 ${\Rightarrow}$ と表す。つまり、 ${(\neg A)\vee B}$ を、 ${A \Rightarrow B}$ と表すと、定義して以来、一度として、他の矢印を、使わない。結局、ひとつで良かったのだと、安心した。ただ、他の本を読むときは、その本に従わねばならない」

結弦「この場合は、 ${\longrightarrow}$ は、 ${\Rightarrow}$ で、定義されているということ？　それで、これが、正しいというのは、どういうときなの？」

麻友「トートロジーでしょ」

若菜「あっ、真偽表か

${((p_1 \Rightarrow p_2) \wedge p_1) \Rightarrow p_2}$
${~~~1~~~~~~~~1}$

とやって、

${((p_1 \Rightarrow p_2) \wedge p_1) \Rightarrow p_2}$
${~~~1~~~~~~~~1}$
${~~~1~~~~~~~~0}$
${~~~0~~~~~~~~1}$
${~~~0~~~~~~~~0}$

で、この後どうすれば、いいのかしら？」

麻友「他にも、 ${p_1}$ や、 ${p_2}$ がある。

${((p_1 \Rightarrow p_2) \wedge p_1) \Rightarrow p_2}$
${~~~1~~~~~~~~1~~~~~~~~1}$
${~~~1~~~~~~~~0~~~~~~~~1}$
${~~~0~~~~~~~~1~~~~~~~~0}$
${~~~0~~~~~~~~0~~~~~~~~0}$

とできる」

若菜「あっ、そうか、

${((p_1 \Rightarrow p_2) \wedge p_1) \Rightarrow p_2}$
${~~~1~~~~~~~~1~~~~~~~~1~~~~~~~~~~~1}$
${~~~1~~~~~~~~0~~~~~~~~1~~~~~~~~~~~0}$
${~~~0~~~~~~~~1~~~~~~~~0~~~~~~~~~~~1}$
${~~~0~~~~~~~~0~~~~~~~~0~~~~~~~~~~~0}$

なんだ」

結弦「ここから、論理記号の下に、◯✕付け始める。

${((p_1 \Rightarrow p_2) \wedge p_1) \Rightarrow p_2}$
${~~~1~~~1~~~~1~~~~~~~~1~~~~~~~~~1}$
${~~~1~~~0~~~~0~~~~~~~~1~~~~~~~~~0}$
${~~~0~~~1~~~~1~~~~~~~~0~~~~~~~~~1}$
${~~~0~~~1~~~~0~~~~~~~~0~~~~~~~~~0}$

恐ろしい」

麻友「どうかな。

${((p_1 \Rightarrow p_2) \wedge p_1) \Rightarrow p_2}$
${~~~1~~~1~~~~1~~~~1~~~1~~~~~~~~~1}$
${~~~1~~~0~~~~0~~~~0~~~1~~~~~~~~~0}$
${~~~0~~~1~~~~1~~~~0~~~0~~~~~~~~~1}$
${~~~0~~~1~~~~0~~~~0~~~0~~~~~~~~~0}$

うん」

若菜「ロシアンルーレットなんて、心臓に悪いですよ。

${((p_1 \Rightarrow p_2) \wedge p_1) \Rightarrow p_2}$
${~~~1~~~1~~~~1~~~~1~~~1~~~1~~~1}$
${~~~1~~~0~~~~0~~~~0~~~1~~~1~~~0}$
${~~~0~~~1~~~~1~~~~0~~~0~~~1~~~1}$
${~~~0~~~1~~~~0~~~~0~~~0~~~1~~~0}$
${~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\uparrow}$ ココ