０から始める数学（その９） - １から始める数学

　現在２０２２年４月１８日１３時４０分である。（この投稿は、ほぼ４５４６文字）

麻友「ほとんど、毎日、投稿書いてる。今、太郎さん、躁なのかしら？」

私「軽い躁状態だね。この状態のときが、一番、自分に取っても、周囲にとっても、困ったことが起こらないんだよね」

若菜「さらに躁になると？」

私「よく、巫女さんが神がかり的になったみたいな状態、と言うんだけど、自分では才能全開で、凄いことできるぞ、みたいになって嬉しいけど、段々周囲に、過度に話しかけたりするようになって、医療保護入院となる」

結弦「でも、今だって、本当に好いてくれてるか分からないお母さんに、ラヴレターみたいなブログを、沢山書いている」

麻友「私、本当は、傷ついてるのよ。太郎さん、先日、ポートで、『ゆきりんの方が、まゆゆより、歌うまいと思いますよ』って、言ってた。私、歌手なのよ」

私「ああ、あれは、You-Tube で、まゆゆきりんの、『悲しい歌を聴きたくなった』をかけたら、『あっ、ゆきりんだ』って、言った人がいて、『横に、麻友さんもいるだろ』と、思いながら、『この人、柏木由紀さんが、好きなんだな』と思った。それで、『ゆきりんが、好きなんですか？』と、聞いたら、『はい』というので、『私の戦友と言ってる人が、『柏木由紀さんカワイイ』と、言ってましたね』と話したら、喜んだので、『ゆきりんの方が、まゆゆより、歌うまいと思いますよ』と、言ったんだ。そうしたら、『まゆゆが好きな、松田さんが、ゆきりんの方が、歌うまいと言うのだったら、本当なんですね』と、大喜びだったんだ」

麻友「それ、男の人？」

私「いや、女の職員さんだよ」

麻友「ふう」

私「ただ、その後、ネットニュースを見てたら、『ＡＫＢ４８のシングルで、自分は、ソロパートを歌わせてもらったことがない』と、柏木由紀さんが不満を述べてて、親友とは言え、柏木由紀さんより歌が下手だという発言に麻友さんは、怒ったかな？とは思った」

麻友「どうして、そういう風に、私を、次から次へと、貶すの？」

私「分からないかなあ。絶世の美女とつきあってる男の人の、照れゆえの発言を」

若菜「照れ？　あっ、照れなんだ」

結弦「お父さんにとって、お母さんは、完璧なんだ。他の人の前で、『この人、カワイイでしょう』なんて、恥ずかしくて、言えないんだ。それで、ゆきりんより歌が下手だ、なんていうことになったんだ」

麻友「もう。もうちょっとで、今日の投稿、読んであげないところよ」

私「今日は、等号 ( ${=}$ ) の定義を、見直すことになる。しっかり付いてきて」

若菜「等号の定義は、お父さんは、独特でしたね」

　定義　７

　自然数が２つある時、その２つが、模様として同じなら、記号『 ${=}$ 』で結ぶことを許す。

　つまり、自然数 ${A}$ と、 ${B}$ が、記号の並びとして同じなら、

『 ${A=B}$ 』

と書けると定義するのである。

　定義　７　終わり

結弦「これは、自然数の場合のことなんだな。ああ、整数になると、 ${\{(2,1),(3,2),(4,3),(5,4),(6,5),\cdots \} }$ というような、無限個の要素からなる集合を、 ${1}$ だと定義する。

${(7,3)}$ の入っている集合は、さっきの約束で、整数の ${4}$ のことだったね。 ${7-3=4}$ だから。

${(9,2)}$ の入っている集合は、さっきの約束で、整数の ${7}$ のことだったね。 ${9-2=7}$ だから。

そして、各成分ごとに足し算して、

${(7,3)+(9,2)=(16,5)}$

と、足し算を定義した。これが、 ${(7+9,3+2)=(16,5)}$ ということだ。でも、模様として、 ${(9,2)}$ というのは、 ${7=1+1+1+1+1+1+1}$ の省略記法だと定義できないの？」

私「問題の深刻さが、分かってないな。この定義での ${0}$ は、何だった？」

結弦「 ${ \{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6),\cdots \} }$ という集合を、整数での ${0}$ と、定義した」

麻友「あっ、そうか。当たり前だけど、 ${0+0=0}$ よね。確かに、等号で結ばれているけど、左辺は、 ${0}$ が、 ${2}$ 個で、右辺は、 ${0}$ が ${1}$ 個で、模様として等しくない」

私「そういうことなんだ。 ${0}$ と ${1}$ の決定的な違いは、 ${0+0=0}$ であるのに対し、 ${1+1=2}$ であることなんだ」

若菜「 ${1+1=0}$ の可能性は？」

私「ある。実数などの、体（たい）というものを考えるとき、標数（ひょうすう）というものについて、考察する。 ${1}$ を、 ${p}$ 個（ ${p}$ は素数）足したとき、 ${0}$ になる、標数 ${p}$ の体というものも、存在する。広中の特異点解消定理の論文の題名は、

${Resolution\ of\ singularities\ of\ an\ algebraic\ variety\ over\ a\ field}$

${of\ characteristic\ zero.（標数０の体の上の代数的多様体の特異点解消）}$

であり、 ${characteristic~zero}$ が、標数 ${0}$ に、相当する。 ${1}$ をいくら足しても、 ${0}$ にならないとき、標数 ∞ とは、言わず、標数 ${0}$ と言うんだ」

麻友「あっ、私達が、 ${1+1}$ を考察したときは、まだ、 ${0}$ がなかったから、こういう議論は、できなかったのね」

結弦「新しい等号の定義をしないと」

私「模様として等しいを、使えなくなってしまったので、ここで、新たに、数学で、本当に使われている定義を、導入しよう。大変なものを導入するようだが、そんなに、分かりにくいものではない」

　定義　４３　等号

　以下の２つの集合論の公理を満たす記号『 ${=}$ 』を、等号と呼び、 ${A=B}$ のとき、 ${A}$ と ${B}$ は、集合として等しいという。

　公理　４４　外延性公理（がいえんせいこうり）

${A=B}$ とは、 ${A}$ の中身と、 ${B}$ の中身が、等しいことである。

　公理　４５　等号公理（とうごうこうり）

${A=B}$ で、 ${A}$ が、 ${C}$ の中身のひとつならば、 ${B}$ も、 ${C}$ の中身になっている。

　定義　４３　終わり

結弦「今度は、集合なの？　整数でなくて？」

私「今後、整数だけでなく、分数も、小数も、実数も、集合で作って行く。だから、等号の定義は、当分変更にはならない」

麻友「じゃあ、 ${-3}$ の中身って、何よ」

私「まず、整数の ${3}$ の中身は、

${3=\{(4,1),(5,2),(6,3),(7,4),(8,5),\cdots \} }$

だったから、マイナスにすると、座標が逆になるから、

${-3=\{(1,4),(2,5),(3,6),(4,7),(5,8),\cdots \} }$

で、要するに、 ${(1,4)}$ とか、 ${(2,5)}$ とか、 ${(3,6)}$ なんかだよ」

若菜「 ${(1,4)}$ は、集合ではない？」

私「若菜、冴えてる。 ${(1,4)}$ も集合だ。一般に、

　定義　４６　順序対

　順序対（座標）は、 ${(x,y)}$ を、

${(x,y)=\{\{x\},\{x,y\}\}}$

という集合と、定義する。

　定義　４６　終わり

結弦「お姉ちゃん。ずるい。じゃあ、 ${1}$ とか、 ${4}$ は、集合ではない？」

私「結弦も、冴えてる。 ${1}$ とか、 ${4}$ も、集合だ」

　定義　４７　集合論での序数としてのゼロ

　まず、以下の公理を採用する。

　公理　４８　空集合の存在

要素をひとつも持たない集合が、存在する。

　この公理により、存在が保証される集合を、 ${\emptyset}$ と書き、ファイと読む。

　定義　４７　終わり

結弦「 ${1}$ や、 ${4}$ は？」

私「自然数の新しい定義を与えるんだ」

　定義　４９　自然数

　自然数とは、以下の様に集合で表されるものと、定める。

${0=\emptyset}$

${1=\{0\}=\{\emptyset\}}$

${2=\{0,1\}}$

${3=\{0,1,2\}}$

${4=\{0,1,2,3\}}$

${5=\{0,1,2,3,4\}=\{0,1,2,3\}\cup\{4\}}$

${~~~~~~\vdots~~~~~}$

${n+1 =\{0,1,2,\cdots ,n-1,n\}=n \cup \{n\}}$

　定義　４９　終わり

私「 ${1}$ とか、 ${4}$ も、集合だ」

麻友「うー、太郎さんが、今まで隠してたものって、これか。全部本当は、集合だったんだ」

私「これが、２０世紀にほぼ定まった集合論の考え方だ。だが、先日の望月新一さんは、『abc予想』を考えていて、こういう集合論から、飛び出したんだろうな。私にもまだ捉えきれないけど、この集合論の宇宙から、望月新一さんの宇宙まで、つなぐ橋が、作れるかどうか、ということなのだろう」

若菜「今日は、定義　４３　から始まって、定義　４９　まで、７個。大変でした」

結弦「数学って、大学へ行くと、こういうことになるんだね」

私「結弦。当分、オリジナルの結弦君のように、高校１年生の見方も、話してくれ」

若菜「私も、高校３年生のオリジナルの若菜さんにも、なりましょう」

麻友「私は、どうしようかしら？」

私「麻友さんは、私を困らせるほどの才媛、京都大学理学部の２回生のミルカさんみたいな人だよ」

結弦「お父さんが照れるほどの、美人だからなぁ。今日は、これで、終わりにしたら？」

私「じゃあ、バイバイ」

若菜・結弦「バイバーイ」

麻友「バイバイ」

　現在２０２２年４月１８日１７時５５分である。おしまい。