1から始める数学

数字の1を定義するところから始めて現代数学を築きます。ブログの先頭に戻りたいときは、表題のロゴをクリックして下さい。

現代論理学(その22)

 現在2019年11月9日11時16分である。

麻友「あれっ、このブログは、凍結したのではなかった?」

私「うん。今年の8月31日の記事を最後に、凍結してあった」

麻友「凍結を宣言したのは、相対性理論のブログの、『『数学』というゲームの企画書(その5)』で、だったわね」

私「『現代論理学』を、このブログで、引き継ぐというのは、ドラえもんのブログの、『数Ⅲ方式ガロアの理論と現代論理学(その20)』という投稿での、麻友さんの発言だった」

麻友「このブログの初回に、『私が、現代の数学すべてを、数字の『1』の意味を定義することから始めて、全部セルフコンテインドに、しかも、記号論理学による演繹図の証明付きで、書いていきたかったからなのです』という言葉があるけど、『現代論理学』を混ぜて、大丈夫だったのかしら?」

私「むしろ、混ぜた方がいいんだ。『現代論理学』の本は、2つの例外、『第2不完全性定理』と、『チャーチのテーゼ』を除いて、すべての定理に、ゼロから証明が付いている。ブルバキの『数学原論』で、なぜこんなことをやらされるのか、分からない。という部分を、克服できる」

麻友「ブルバキを読むのに役立つなら、読んでもいいかもね」

若菜「お父さん、何か、お母さんを喜ばせる話題を、振ってあげられないんですか」

私「麻友さんには、周りに、素晴らしい親衛隊が、何人もいるんだよ。お金ももらってないのに、麻友さんの情報を、ブログで紹介している、『まゆゆ応援情報@練習中』さんとか」

mayuren.jp


若菜「わー、可愛い」

私「あっ、そうか、お前達にとっての麻友さんは、2042年の麻友さん。つまり、48歳の麻友さんなんだなあ」

結弦「だから、その人達みたいな、面白い記事は、書けないと?」

私「アニメとか、宝塚とか、AKB48とか、お芝居とか、色々、麻友さんの好きなものは、あるけど、私は、私の得意なもので、面白そうなことを書いた方が、受けると思う」

麻友「じゃあ、『現代論理学』始めて」


 前回は、{\S 1} の最後までだったね。今日は、{\S 2} から。



*******************************


{\S 2} 真理関数


 われわれの当面の目標はトートロジーという概念を定義することであるが,そのためには,前節で定義された論理式の概念を,あらためて,真と偽という真理値(truth value)の観点から解釈しなければならない.そこでまず,前節の5つの結合子を次のような真理関数(truth function)として定義しよう.
〔この表を真理表(truth table)と呼ぶ.〕


{\begin{array}{c|c}
A & \neg A\\
\hline
真 & 偽\\
偽 & 真\\
\end{array}}


 研究者注

 この表は、左から見ていく。まず、{A} が真なら、{\neg A} は偽である。{A} が偽なら、{\neg A} は、真であると、読む。

 注終わり


{\begin{array}{c|c|c}

A & B & A \wedge B\\
\hline
真 & 真 & 真\\
真 & 偽 & 偽\\
偽 & 真 & 偽\\
偽 & 偽 & 偽\\

\end{array}}


 研究者注

 これも、左から、{A}{B} が、どちらも真なら、{A \wedge B} も真である、と読む。

 注終わり

{\begin{array}{c|c|c}


A & B & A \vee B\\
\hline
真 & 真 & 真\\
真 & 偽 & 真\\
偽 & 真 & 真\\
偽 & 偽 & 偽\\

\end{array}}


{\begin{array}{c|c|c}

A & B & A \Rightarrow B\\
\hline
真 & 真 & 真\\
真 & 偽 & 偽\\
偽 & 真 & 真\\
偽 & 偽 & 真\\

\end{array}}


{\begin{array}{c|c|c}

A & B & A \equiv B\\
\hline
真 & 真 & 真\\
真 & 偽 & 偽\\
偽 & 真 & 偽\\
偽 & 偽 & 真\\

\end{array}}



*******************************
テキスト6ページより


私「取り敢えず、ここで止めようか」

若菜「ここでの、真(しん)とか偽(ぎ)というのは、どう理解したらいいのでしょう」

私「お互いが愛し合っているという命題を考える。麻友さんが私を愛しているというのが、真であり、私が麻友さんを愛しているというのが、真ならば、お互いが愛し合っているという命題が私達の場合、真だと、分かるだろう。そして、このお互いが愛し合っているという命題は、『麻友さんが私を愛している {\wedge} 私が麻友さんを愛している』と表すのと、同じことだね」

結弦「その場合、他の人の場合のことは、どう表すの?」

私「今、結弦が気付いたように、他の人の場合を当てはめたりすることは、命題論理学では、できず、第Ⅱ章の述語論理学の出番となる」

麻友「上手く引き込むように、なってるのね」

若菜「ちょっと、気になったんですけど、真理関数と、言ってますよね。関数なのに、数字じゃないものを、入れて、良いのですか?」

私「そうだね。初めは、ちょっと抵抗があるだろう。ロジックの研究をもっとやっていって、論理式の集合から、論理式の集合への関数だのと言った、無茶苦茶な関数を、扱うようになると、気持ち悪さを忘れるほどになる。一応疑問に思ったことだけは、覚えていておいて」

若菜「じゃあ、『現代論理学』の分からないことリスト第1号

『真理関数を、数字以外のものから、数字以外のものへの関数として良いの?』

麻友「それじゃ、先進めて」

私「分かった」



*******************************


 この表における真と偽という値の割り当て方は,{\neg} の〈not〉,{\wedge} の〈and〉,{\vee} の〈or〉,{\Rightarrow} の〈if~,then~〉,{\equiv} の〈equivalent〉という各解釈とおおむね一致している.〔ただし {\Rightarrow} については,{A \Rightarrow B}{A} (「前件」と呼ぶ)が偽のときには,{B} (「後件」と呼ぶ)の真偽にかかわらず、{A \Rightarrow B} が真となることに留意されなければならない.〕しかし,重要な点は,各結合子が,真と偽という2つの要素を含む集合の上に定義された一定の関数,一定の演算子(operator)としてとらえられているということにある。したがって、その点を強調するために、以下では真と偽という値のかわりに {1}{0} という,よりニュートラルな記号を用いることにし,真理表をあらためて次のように定義する.


{\begin{array}{c|c}
A & \neg A\\
\hline
1 & 0\\
0 & 1\\
\end{array}}


{\begin{array}{c|c|c|c|c|c}

A & B & A \wedge B & A \vee B & A \Rightarrow B &A \equiv B\\
\hline
1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\
1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1\\

\end{array}}


*******************************
テキスト6,7ページより


若菜「関数って、・・・あっ、もしかして、こういうことですか? {A}{B}{C} について、{A} が、{1} で、{B} が、{0} のとき、{A \Rightarrow B} は、{0} ですね。そして、このとき、{C}{1} ならば、{(A \Rightarrow B) \vee C} は、{1} となる。こういう風に、どんどん関数を、計算していって、目指す論理式が、{0}{1} か、計算するっていうことですよね」

私「そういうことだ」

麻友「なんか、簡単なことなんじゃない」

結弦「論理学なんて、いかめしい名前変えて、ロジックに、統一すれば?」

私「その言葉、忘れるなよ。まだ、この本、4ページしか読んでないんだぞ」

麻友「じゃあ、続きを進めて」

私「では」



*******************************


 そこで,結合子をこのように定義すれば,それに応じて論理式そのものを1つの真理関数として解釈することができる.つまり,論理式に含まれる各要素命題記号に1か0の真理値を与えれば、それに応じて論理式全体の真理値が定まるわけである。そして、その真理値は次のような表にもとづいて実際に計算することができる.


 例1 論理式 { \neg p_1 \vee p_3 \equiv \neg (p_3 \Rightarrow p_1)} の真理値の計算

{\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c}

p_1 & p_3 & \neg p_1 & \neg p_1 \vee p_3 & p_3 \Rightarrow p_1 & \neg (p_3 \Rightarrow p_1) & \neg p_1 \vee p_3 \equiv \neg (p_3 \Rightarrow p_1)\\
\hline
1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0\\
1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1\\
0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1\\
0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0\\

\end{array}}


 つまり,与えられた論理式の帰納的な形成の過程にそって順次,部分論理式(subformula)の真理値を計算してゆき、最後に論理式全体の真理値に到達するわけである.しかし,この過程は,次のように真理値を各記号の下方に直接記入することによって、より簡明に示すことができる.〔その際,論理式の最終的な値は一番外側の結合子(この例では {\equiv} )の下に記される.〕


{

~\neg p_1 \vee p_3 \equiv \neg (p_3 \Rightarrow p_1)\\

0~~~ 1~~  1~~ 1~~ 0~~  0~~1~~~1~~1\\
0~~~ 1~~  0~~ 0~~ 1~~  0~~0~~~1~~1\\
1~~~ 0~~  1~~ 1~~ 1~~  1~~1~~~0~~0\\
1~~~ 0~~  1~~ 0~~ 0~~  0~~0~~~1~~0\\
~~~~~~~~~~~~~~~\uparrow この列
}



*******************************
テキスト7ページより



麻友「一番外側の結合子って、最後に計算する、結合子ということよね」

若菜「最後が2つ以上あるという可能性は、考えられませんか?」

結弦「論理式というものが、要素命題記号から、論理式の定義のように、結合子で、順々につないできたのだとすれば、必ず最後のものが、あって当然」

若菜「でも、ある組み立て方で作った論理式が、別の組み立て方で作ったように、見えるという可能性は、ありませんか?」

私「それはねえ、括弧を省略しすぎた場合に、起こるんだ」

若菜「あっ、括弧を省略するルールを、ドラえもんのブログの『数Ⅲ方式ガロアの理論と現代論理学(その18)』で、やりましたね」

麻友「結合子の結合力を、{\neg,\wedge,\vee,\Rightarrow,\equiv} の順に弱まるものと定めれば,それにより括弧を大幅に省くことができる. と、5ページから6ページにかけて書いてある」

若菜「じゃあ、括弧をまったく省略しなければ、必ず、最後に計算する結合子が定まるのですね」

私「そこで、読んでいる麻友さん、本当に最後が定まるのかどうか、簡単な例で、実際試してごらんよ。ひとつでも、やってみれば、すぐ分かることだから」

麻友「私に、言ってるのではないの?」

私「私の恋人になった麻友さんでなく、このブログを、東大宮から見ている実体のある麻友さんだよ」


若菜「本当に、東大宮に、お住まいなのですか?」

麻友「一応そういうことに、なってるのよ。少なくとも、太郎さんは、そう信じている」

結弦「現実と非現実が、ごっちゃになったところで、今日は、お開きにしない?」

私「分かった。じゃあ、テキスト7ページ最後まで、進んだからな。解散」



麻友「ちょっと、気持ちが良い方向に、向いているんじゃない?」

私「病院で、先生からの、医療費の表を見ていたら、『躁うつ病のため、リチウムを投与しています』と、書いてあった。統合失調症と共に、躁うつ病も、発症しているらしい」

麻友「そんなこと、呑気に言ってるから、成年被後見人なんて、言われるのよ。でも、躁うつ病も、強迫性障害も、治せる病気ですからね。あっ、でも、太郎さんに取って、統合失調症になっているというのは、ひとつき65,000円の収入を得られるという特権なのかもしれないわね。65,000円あれば、住居さえあれば、自立できる。結婚相手の実家に嫁ぐのなら、ヒモだのなんだのと汚名を着せられることもない」

私「言っとくけど、100万が1、離婚なんてことになっても、麻友さんに慰謝料請求したりしないから」

麻友「なに馬鹿なこと言ってるの。男の人が女の人に、慰謝料請求なんて、聞いたこともない」

私「結婚って、本当に、どういうものなんだろう」

麻友「そんなの、婚活の雑誌見れば、いくらでも書いてあるわよ」

私「雑誌か。最近は、以前とちょっと違う雑誌も、見てる。数学セミナーレコード芸術、Newton、日経サイエンス天文ガイド、などの他に、Sweet、日経ビジネス子供の科学、なども、見ている」

麻友「買ってはいないのね」

私「前回入院した、2018年10月以来、雑誌は、全く買ってない」

麻友「太郎さんって、目標が定まると、倹約もできるのよね。目標・・・つまり、私が、結婚してあげれば、成年被後見人にも、ならないのかな? おおっと、太郎さんの話術にはまるところだった。投稿して、URLツイートして」

私「分かった。バイバイ」

麻友「バイバイ」

 現在2019年11月9日20時56分である。おしまい。