現代論理学（その３５） - １から始める数学

　現在２０２２年５月２日１９時０４分である。（この投稿は、ほぼ３０１０文字）

麻友「太郎さん。昨日は、２本書いてきたわね。疲れていない？」

私「今のところ、大丈夫。特に今日は、３回目のワクチン接種だった」

若菜「前回は、去年の１０月３１日。今日から、接種して良かったわけですが、混んでなかったですか？」

私「１４時からの予約だったんだけど、１３時０５分頃、行ったら、看護婦さんだけ。最近、書き加えた、BGsummary.pdf を、チェックしていたら、１３時２０分頃、『前倒しで、接種します』と言われ、１３時３０分に、注射してくれた」

結弦「どうして、そんなに、空いていたんだろう？」

私「ゴールデンウィーク中だったからかも、知れない」

結弦「あっ、そうか」

私「帰りに、窓の外に、素敵な景色が見えた。１階に降り、駅と反対の方向へ、これ。

麻友「素敵な並木道なのは、認めるけど、太郎さんって、バランス感覚ないの？」

私「この写真撮るのに、どれだけ苦労したか知らないから、そんなこと言うんだよ。スマホのカメラを起動したら、ビデオモードになってる。スチール写真に変えようと思っても、上手く行かない。お天気が良いから、スマホの液晶が、光っちゃって、見えない。持っていた原稿を、地面に置いて、何とかしようとしてたら、風が吹いてきて、原稿が散乱、放っておいて、何とか撮ったのが、上の写真。原稿を回収し、帰って来た。実は、矢向の駅前に、ワンダモーニングショットが、８０円という自動販売機があった。買おうとしたら、PayPay などの、バーコードでなければ駄目という。こんなに悔しかったことは、珍しい」

結弦「それで、どうしたの？」

私「駅に入って、普通の販売機で、ワンダモーニングショット、１３０円で買って、飲んだ」

結弦「なんだ。結局、お母さんと、間接キス、できてるんだ」

麻友「さあ、『現代論理学』始めて」

私「１０ページ」

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　ところで，「論理的に真」ということは，一般にはとくに推論（inference）について言われる． ${A_i ~(1 \leqq i \leqq n)}$ ならびに ${B}$ を論理式とするとき，次のような論理式の列を推論式と呼び， ${A_i ~(1 \leqq i \leqq n)}$ を前提（premise）， ${B}$ を結論（conclusion）と言う．

${~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~A_1,A_2,\cdots ,A_n \longrightarrow B}$ 　　　（１）

そこで，こうした推論について「論理的に真」ということを定義するために，それに次のような論理式を対応させる．

${~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(A_1 \wedge A_2 \wedge \cdots \wedge A_n) \Rightarrow B}$ 　　　（２）

つまり，推論式（１）は内容的には，「もしすべての前提 ${A_i ~(1 \leqq i \leqq n)}$ が成立するなら，結論 ${B}$ も成立する」ということを意味するが，それは論理式（２）によって表現されると言える．そこで，もとの推論（１）が「正しい」ということを，それに対応する論理式（２）が「正しい」，つまり論理式（２）がトートロジーであるということによって定義するわけである．

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私「本文は、もうちょっと、あるが、言っている意味が、分かっているだろうか？」

麻友「１度聞いてみたかったんだけど、数学の文献で、 ${A_i ~(1 \leqq i \leqq n)}$ と書いてあったら、 ${A_1}$ とか、 ${A_2}$ とか、そういうのが、 ${A_n}$ まで、用意できてますよ。という意味なの？」

私「そうだよ。なんて、澄まして言ってるけど、誰か先生から、聞いたわけではない。色んな数学の文献、読んでいるうちに、ひとりでに、そういうものだろうと、思えるようになり、それが上手く行かなかったことはないので、納得してる」

若菜「お父さんが、大学に入るまでに、教科書以外で、読んだ数学と物理学の本を、挙げて下さい」

私「数学と物理学を、混ざったまま、読んだ順に挙げる」

時間の測定 (1974年) (ライフ/人間と科学シリーズ)