現代論理学（その２７） - １から始める数学

　現在２０２０年７月２日１５時００分である。

私「麻友さん。７月１日になってから、麻友さんがナレーションを務めた『ピカチュウ、これなんのカギ？』というのを、ＷＯＷＯＷで、流すなんて」

麻友「ごめん。放送局も、大変なのよ」

私「７月５日に『トライベッカ＃１』をやるという未確認情報もある」

麻友「お願い、許して」

私「今日は、いいことがあったから、許してあげる」

麻友「あら、何があったの？」

私「ペンケース、来たんだよ。ほらっ」

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麻友「なんかちょっと、赤みがかっているけど」

私「そうだよね。元の写真は、麻友さんのドレスが、純白のはずだものね。中身は、こう入る」

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麻友「難しいことを言っていた、長さ１９ｃｍの幅４．５ｃｍの定規は？」

私「ほら、入ってる」

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麻友「ああ、良かった。太郎さんに届いたなんて」

私「そっか、麻友さんが特別にお願いして、作ってもらったのか」

麻友「そうじゃなきゃ、芸能界引退後に、『渡辺麻友のペンケース』なんて誰も見向きもしないわ」

私「ファンの人達も、自分の心を整理するのに、苦労しているみたいだね」

麻友「アイドルって、罪作りな仕事ね」

私「ホステスとかに比べれば、騙した量は少ないんじゃない？」

麻友「私を、ホステスと比べるの？」

私「女の人には、違いない」

麻友「もう。魔法で、ペンケース消しちゃうわよ」

私「その、魔法、知りたいな」

麻友「物理学で、解明できるわよ」

私「じゃあ、まず数学の基礎的なことで、合意できることを、増やそう。

安井邦夫『現代論理学』（世界思想社）

現代論理学

作者:邦夫, 安井
メディア: 単行本

の、８ページの５行目から」

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　ところで，われわれは上にとりあえず５つの結合子を採用したが，真理関数という観点から見れば，これらの結合子は互いに還元可能である．つまり次のような等式が成立する．〔この場合，等号 ${=}$ は，左辺と右辺の論理式が（ ${A,B}$ に任意の真理値を与えた場合に）常に同一の値をとることを表している．〕

${(A \equiv B)=\{(A \Rightarrow B) \wedge (B \Rightarrow A)\}}$ 　　　　　（１）

${(A \Rightarrow B )=(\neg A \vee B)}$ 　　　　　　　　　　　　（２）

${(A \Rightarrow B )=\neg (A \wedge \neg B)}$ 　　　　　　　　　　　（３）

${(A \wedge B )= \neg (\neg A \vee \neg B)}$ 　　　　　　　　　　　（４）

${(A \wedge B )= \neg (A \Rightarrow \neg B )}$ 　　　　　　　　　　　（５）

${(A \vee B )= \neg (\neg A \wedge \neg B)}$ 　　　　　　　　　　　（６）

${(A \vee B )= ( \neg A \Rightarrow B )}$ 　　　　　　　　　　　　（７）

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麻友「あの子達も、呼びましょう。若菜、結弦、出てきて」

結弦「おっ、久しぶりに『現代論理学』。お父さんも、論理に拘るなあ」

若菜「お父さんは、大学時代に、『数学において、正しいとは、どういうことか』ということが分からなくなって、それを克服するのに、論理学の力を借りたから、重要でしょうけど、私達は、論理学なんて、必要性を、感じてないんですけどねえ」

私「実は、私も、論理学の研究は、とっくに終わらせているはずだった。私は、レヴェルの高い物理学を、学びたかったのだからね。でも、論理学を学んでみると、面白いことも、いくつかあるんだよ。ちょっと前に話した、『直観主義的集合論』の『はじめに』を６月１２日から６月３０日まで、読んでみて、私の持っている古典的論理学に基づく集合論と、直観主義的集合論との違いも、分かった。その違いが分かるためには、『現代論理学』や『数学基礎概説』で、古典的論理学を学んでなければならなかった」

麻友「いや、論理学を、やりたくないと、言ってるわけでは、ないの。ただね、ブルバキは、最初に『圏と関手』からやれば良かったと思っていたようだ、という話を聞いたり、『圏と関手』を使って、直観主義的集合論を作ろうとしていたようだ、とか、圏って、すっごい面白そうで、しかも、

圏論の歩き方委員会『圏論の歩き方』（日本評論社）

圏論の歩き方

発売日: 2015/09/09
メディア: 単行本

こんな面白そうな本も出てる。私も、こっちの本の方を、読んでみたいのよ」

若菜「そんなことを、言ったら、どんなことになるか・・・」

私「あっ、圏論を、もっと知りたかったの。ただ、言っとくけど、圏論っていうのは、ホモロジー代数と呼ばれるもので、私が大学１年入学早々で、川口周君に、

私「どんな本でゼミをやるんですか？」

川口「森田康夫（もりた　やすお）の『代数概論』という本にしようと思っているんです。この矢印を、使えるようになりたいなと」

私「ああ、この最後の章の、圏と関手のところですね」

代数概論 (数学選書)

作者:森田康夫
発売日: 1987/11/20
メディア: 単行本

と言って、ゼミを始めたが、半年経ったとき、この矢印に関係する、ホモロジーというものは、とんでもなく難しいもので、到底進めないと分かって、ホモロジーのところは、飛ばさざるを得なかったというほどなんだよ。だから、『圏論の歩き方』という本は、今の状態へのアンチテーゼなんだ」

結弦「説明が丁寧でないの？」

私「圏論というのは、一種の言葉だから、ただそれだけ勉強しても、分からないんだ。何かその言葉で、他の人に伝えたい、数学的事実がないと」

若菜「例えば、どんなものを、伝えるんですか？」

私「そもそも、圏が考えられたのは、代数的位相幾何学などの分野でだった。だから、位相幾何学、つまりトポロジーを勉強すると、伝えたいことができて、圏と関手で、伝えられる。でもまあ、今の時代は、圏も人口に膾炙した。麻友さん達が読みたいというのなら、ちょっとずつ読んでいこうか。これも、『１から始める数学』だから、このブログで、始めようか。『圏論の歩き方』という題の記事は、この本としよう。じゃあ、思い立ったが吉日。今日からやろう。『現代論理学』は、８ページの１６行目までやったぞ」

麻友「じゃあ、新しい記事へ、ワープ！」

　現在２０２０年７月２日１９時４９分である。おしまい。