1から始める数学

数字の1を定義するところから始めて現代数学を築きます。ブログの先頭に戻りたいときは、表題のロゴをクリックして下さい。

16進数学(16進数を書くときの約束事)

現在2020年2月8日21時40分である。

麻友「今日は、かなり研究してたわね」

私「倉田令二朗さんの数学基礎論シリーズを16ページくらい読んだ。推移的閉包(transitive closure)という言葉を、初めて知った」

若菜「16進数学が、進んでませんが」

私「そうなんだよね。これからは、移行期を経て、ほとんどすべてを、16進数で、記述するようにしたい。だが、2020年などの年号や、本のページ数の48ページなどでは、10進数を、許すとしたい。また、ローマ数字のI,II,III,IV,V,VI,VII,VIII,IX,X,XI,XII,XIII,XIV,XV,XVI,XVII,XVIII,XIX,XX (ローマ数字で、1から20)は、10進数のまま使うことを許す」

結弦「これは、16進数で、書いてありますよ、という目印を決めたら、分かり易くない?」

私「確かに。10進数で、24(にじゅうよん)は、16進数で、18(いちはち)だ。これを、右下に、何進数かを十進数で書いて、

{(24)_{10}=(18)_{16}}

とするのが、最も分かり易い」

麻友「この等式が、正しいということは、どうやって示すの?」

私「右辺の{(18)_{16}} を10進数で表すことを考えよう。18の、8は1の位、つまり{16^0=1} の位の数だから、そのまま、{1 \times 8 = 8} だ。次に、{(18)_{16}} の18の、1は16の位、つまり{16^1=16} の位の数だから、{16 \times 1 =16} である。そこで、最後に、10進数に直すと、{8+16=24} となり、

{(24)_{10}=(18)_{16}}

が、確かめられた。


昨日、ここまで書いてあった。眠くなり、寝てしまった。


現在2020年2月9日15時08分である。

麻友「逆に、10進数の24が、16進数の18になるというのは、確かめないの?」

結弦「それは、一方だけ確かめれば、十分なはずだけど、特待生の質問は、貴重だから、やってみよう」

私「こんな風な、解答は?」

このページの10進数の枠に、24と入れて、16進数で、どう表されるか、変換してごらん。

10進数←→16進数www.gs.niigata-u.ac.jp

若菜「これ、面白いですね。小数でも、変換できる」

麻友「あっ、本当。だけど、16進数の小数は、10進数の小数に直せない」

私「そもそも、16進数の小数というものは、数学をまともに16進数で、記述するときしか、出てこない。普通、16進数で表すのは、コンピューターのプログラムだ。だから、整数の場合だけ、変換できれば、後は困らないんだよ」

結弦「そうか。でも、物理学で、今度定義が決まった、プランク定数なんて、どうするの?」

私「あれは、・・・」


麻友「私、覚えたわよ。太郎さん年賀状に書いてきた。{h=6.62607015 \times 10^{-34} \mathrm{J s}} だったわね」

私「年賀状、届いたんだ」

麻友「太郎さん。気付いたのね。ちゃんと、7階にしてあった」

私「麻友さんが、去年くれた年賀状では、6階になってた。でも、麻友さんのオフィシャルホームページのファンレターの送り先は、7階だった。恋人同士だけど、私が麻友さんのファンであることは、紛れもない事実だ。だから、ファンレターとして、年賀状送った」

麻友「ああ、ばらしちゃったわね」

私「私のブログ見ている、麻友さんのファンなんて、ひとりでもいるの?」

麻友「私が、太郎さんを、好いていることを、知っているファンは、少なくないの」

私「麻友さん。私のこと、本当に好きなんだ。こんなに、顔も悪くて、お金も稼げない、男の人を」

麻友「熱心なファンということでは、太郎さんより熱心に、慕ってくれたファンは、他にもいた。でも、数学や物理学の冒険、クラシック音楽のデート、結婚をシミュレート、結婚後のW3M∞のシミュレート、なんていう、私を巻き込んだ、一連の冒険は、この人と一緒になったら、面白そう。と、私でも、興味をそそられた。『感情をなくした』私の心に、感情を取り戻させてくれた。嬉しかったのよ」

若菜「お父さん。この機を逃さず、お母さんを、ぎゅっとしてあげなければ」

私「それは、麻友さんが今いる場所が、分かってればなあ」

結弦「そうだ。良いこと思い付いた。お母さんの前で、プランク定数、10進数から16進数に、手品みたいにパッと、変換させてみなよ」

私「それは、できないんだ。実は、私も、これはもっと簡単にできると思って、楽観してた。でも、{10^{-34}} というのは、{16^{-34}} と、簡単には行かないんだ」

若菜「じゃあ、どうするんですか?」

私「もし、強引に16進数を、押し通そうとすると、10進数で書いてある、指数のある数は、その指数の部分を、丁寧に計算しなおさなければならない。例えば、

{(16)_{10}^{(16)_{10}} = (18446744073709551616)_{10}}

などという煩瑣な計算をすることになる。小さいときから、16進数で、すべて習ってきた子供は、分かるだろうが、私が提唱している、小学校上がる前に、お母さんやお父さんが、算数を教えておけば良い、という最高の技が、私ですら、使えなくなる」

麻友「ドラえもんのブログの、『1から始める数学(その14)』の投稿ね」

若菜「そもそも、お父さんは、なぜ16進数にしようと、思ったのでしたっけ」

私「コンピューターのプログラムを、これから生まれてくる子供達に、読みやすく、また、書きやすく、してあげようと思ったんだ」

結弦「他にも理由があったね」

私「円周率 {\pi} が、1000兆桁目は何かとかを、簡単に求められる。数学を16進数で書いて行ったら、今までの未解決問題が、解けるのではないか? 例えば、リーマン予想とか、という期待があった」

若菜「それでは、16進数だと、何桁目でも、求められます、というひとつの定理のまま、私達は、今後も、10進数を、使い続けるのでは、どうでしょう」

私「プランク定数が、明暗を分けた。今後私達が、量子力学を、研究していくとき、10進数で、計算していくことにする」

麻友「太郎さんの数学への、唯一の貢献になるかも知れなかったのにね」

私「悪い皇帝に、ならなくて良かった」

結弦「結局、お父さんは、こうやって、新しいアイディアが、上手くいくかどうか、テストしてるんだな」

若菜「小説を、書いて、実験している作家と違い、お父さんは、お金はもらえなくても良いと、公言してる」

結弦「でも、お父さんにとっての最高の報酬は、お母さんと一緒になることだろ。本当に6年後に、お金は、なくなるのかなあ」

麻友「太郎さんが、今回の決断で、数学を迷わせなかったのは、英断だと思うわ。メールくらい送ってあげたいけど、太郎さんって、私のスキャンダルを狙っている記者じゃないわよね」

若菜「そんなこと、・・・」

結弦「お母さんの周りの人って、お父さんのこと、そんなに警戒しろって、言ってるの?」

麻友「そりゃ、自分から、気が狂っていると、話してくれるなんて、普通じゃないわ。でも、罠にはめられそうな、気もするのよ」

若菜「体ごとぶつかってみれば、罠でも幸せが、味わえるかも知れないですよ」

私「麻友さん。最初からいきなり訪ねてきて、脅かすのは、余り歓迎しないよ。まずは、メールくらいから、始めて、次はLINE。それから、電話。そして、時間を決めて、デート。普通の人の真似だってしたいじゃない」

麻友「うん」

若菜「そうすると、今日の数学の獲物である、16進数で書いてあることを示す目印は、

{(311)_{10}=(137)_{16}}

や、

{(911)_{10}=(38 \mathrm{F} )_{16}}

などですね。今後も、使うのですか?」

私「多分、使う機会あると思う」

麻友「座布団、ペンライト、カレンダーなどと共に、ふたりで作ったものが、増えたわね。16進数学の連載が止まって、いっとき半角の数字だったのも、全角の数字が復活した」

私「じゃあ、解散」

麻友「おやすみ」

若菜・結弦「おやすみなさーい」

私「おやすみ」

 現在2020年2月9日20時06分である。