現代論理学（その２６） - １から始める数学

現在2020年2月6日5時17分である。

麻友「早起きね」

私「今日は、3時59分に、気分スッキリ起きられたんだ。昨晩、比較的早く切り上げたからかも知れない」

結弦「宿題が、出ていたね」

若菜「これの、1と0を、どうやって並べたらいいかね」

${\begin{array}{c|c|c|c|c} p_2 & \Rightarrow & ( p_3 & \wedge & p_5 )\\ \hline 1 & & 1 & & 1 \\ 1 & & 1 & & 0\\ 1 & & 0 & & 1 \\ 1 & & 0 & & 0\\ 0 & & 1 & & 1 \\ 0 & & 1 & & 0\\ 0 & & 0 & & 1\\ 0 & & 0 & & 0 \\ \end{array}}$

私「考えてみた？」

結弦「お父さんが、２進法というものの考え方を、利用している、と言ってたから、良く見たら、下から順に、

0 0 0 十進法では 0
0 0 1 十進法では 1
0 1 0 十進法では 2
0 1 1 十進法では 3

と、ひとつずつ増やしたものに、なってるんだね」

私「そうなんだ。２進法と、対応させれば、重複がないことも、証明したことになる」

麻友「そもそも、 ${2^3=8}$ 通りあるというのは？」

若菜「3つのものが、それぞれ、0か1のどちらかの値を取るので、 ${2 \times 2 \times 2 =8}$ 通りの場合が、あるわけですよね。そして、これより多くはならないですね」

私「結弦のは、効率の良さでは、優れている。だが、真理表の下から、表を埋めることになる」

結弦「上から、0 を書き始めちゃ、いけないの？」

私「間違いには、ならない。だから、結弦が、0から始めて、上から埋めていくのが、自分の数学だ、と思うなら、それを、貫けば良い」

結弦「ばつには、されない？」

私「大丈夫。ただ、数学の文献では、ほとんどの場合、1から始めて、上から埋めていく。やっぱり、正しい、つまり、真、の場合を、知りたいからだ」

若菜「その場合の並べ方は？」

私「この方法は、手間がかかるのだが、真を1、偽を0、とする前、真を ${\bigcirc}$ 、偽を ${\times}$ 、と、書いていたよね」

麻友「ああ、ブルバキの方とかね」

私「この ${\bigcirc}$ を、私は、0 だと思うことに、したんだ。そして、 ${\times}$ を 1 だと思うことにした。そして、

000 は、 ${\bigcirc}$ ${\bigcirc}$ ${\bigcirc}$

001 は、 ${\bigcirc}$ ${\bigcirc}$ ${\times}$

010 は、 ${\bigcirc}$ ${\times}$ ${\bigcirc}$

011 は、 ${\bigcirc}$ ${\times}$ ${\times}$

と、上から真理表を、埋めていく」

結弦「でも、これからは、真理表を、0 と 1 で、書くんだよ」

私「そうだ。だから、こうやって、 ${\bigcirc}$ と ${\times}$ で、真理表を作った後、 ${\bigcirc}$ を 1 に、 ${\times}$ を 0 に、置き換えるんだ」

結弦「なんか、遠回りだなあ」

私「慣れてくると、初めから表を書くとき、全部 1 から、２進法で、1 ずつ引き算して行くと、同じ表になる」

結弦「

1 1 1

1 1 0 (=1 1 1 - 1)

1 0 1 (=1 1 0 - 1)

1 0 0 (=1 0 1 - 1)

0 1 1 (=1 0 0 - 1)

・
・
・

確かになっている。お父さん、いつこの方法、習ったの？」

私「公文をやってた頃かなあ、自分で、なんとか間違わないように、と思って、考え出したんだよ」

麻友「太郎さん。自分で考え出した方法だから、間違えないのよね」

私「教わったことだって、一杯あるよ」

結弦「じゃあ、今日の宿題に取り組もう。

というのだった。ここまで 1 と 0 を埋めることは、今やったことから、分かる。これを元に、次の段階に入る」

若菜「括弧が付いてるから、 ${p_3 \wedge p_5}$ を、計算するわけですよね。それを、『 ${\wedge}$ 』の下に書く」

麻友「 ${p_3}$ と、 ${p_5}$ が、どちらも 1、つまり真なら、 ${p_3 \wedge p_5}$ は、真。つまり、1 ね。だから、こうなるわね」

${\begin{array}{c|c|c|c|c} p_2 & \Rightarrow & ( p_3 & \wedge & p_5 )\\ \hline 1 & & 1 & 1 & 1 \\ 1 & & 1 & & 0\\ 1 & & 0 & & 1 \\ 1 & & 0 & & 0\\ 0 & & 1 & & 1 \\ 0 & & 1 & & 0\\ 0 & & 0 & & 1\\ 0 & & 0 & & 0 \\ \end{array}}$

結弦「次の行は、 ${p_5}$ が、0 だから、 ${p_3 \wedge p_5}$ は、片方でも偽なら、偽となるから、0 となるね。こうだ」

${\begin{array}{c|c|c|c|c} p_2 & \Rightarrow & ( p_3 & \wedge & p_5 )\\ \hline 1 & & 1 & 1 & 1 \\ 1 & & 1 & 0 & 0\\ 1 & & 0 & & 1 \\ 1 & & 0 & & 0\\ 0 & & 1 & & 1 \\ 0 & & 1 & & 0\\ 0 & & 0 & & 1\\ 0 & & 0 & & 0 \\ \end{array}}$

私「その調子で埋めていくと、

${\begin{array}{c|c|c|c|c} p_2 & \Rightarrow & ( p_3 & \wedge & p_5 )\\ \hline 1 & & 1 & 1 & 1 \\ 1 & & 1 & 0 & 0\\ 1 & & 0 & 0 & 1 \\ 1 & & 0 & 0 & 0\\ 0 & & 1 & 1 & 1 \\ 0 & & 1 & 0 & 0\\ 0 & & 0 & 0 & 1\\ 0 & & 0 & 0 & 0 \\ \end{array}}$

まで、分かるな」

若菜「次は、 ${ \Rightarrow }$ のところですね」

麻友「分かってきたわ。 ${p_2 \Rightarrow (p_3 \wedge p_5)}$ だから、太郎さんの矢印の定義により、 ${\neg p_2 \vee (p_3 \wedge p_5)}$ が、成立するとき、1 を入れて、成立しないとき、0 を入れるのね。１行目は、 ${p_3 \wedge p_5}$ が成り立っているから、 ${\neg p_2 \vee (p_3 \wedge p_5)}$ は、真で、1 を入れる」

${\begin{array}{c|c|c|c|c} p_2 & \Rightarrow & ( p_3 & \wedge & p_5 )\\ \hline 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & & 1 & 0 & 0\\ 1 & & 0 & 0 & 1 \\ 1 & & 0 & 0 & 0\\ 0 & & 1 & 1 & 1 \\ 0 & & 1 & 0 & 0\\ 0 & & 0 & 0 & 1\\ 0 & & 0 & 0 & 0 \\ \end{array}}$

結弦「次の行は、 ${p_2 }$ が真だから、 ${\neg p_2 }$ は、偽で、 ${p_3 \wedge p_5}$ も偽だから、 ${p_2 \Rightarrow (p_3 \wedge p_5)}$ は、偽となり、0 が入る」

${\begin{array}{c|c|c|c|c} p_2 & \Rightarrow & ( p_3 & \wedge & p_5 )\\ \hline 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 1 & & 0 & 0 & 1 \\ 1 & & 0 & 0 & 0\\ 0 & & 1 & 1 & 1 \\ 0 & & 1 & 0 & 0\\ 0 & & 0 & 0 & 1\\ 0 & & 0 & 0 & 0 \\ \end{array}}$

若菜「慣れれば、機械的にできますね」

私「だから、コンピューターでもできる」

麻友「あっ、そうね。人間様のやることじゃない」

若菜「でも、最近のコンピューターは、凄いんですよ。私と結弦だって、AIなのですから」

私「アハハ、逆襲された」

麻友「じゃあ、結弦。続きやってよ」

結弦「カチャカチャ」

${\begin{array}{c|c|c|c|c} p_2 & \Rightarrow & ( p_3 & \wedge & p_5 )\\ \hline 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ \end{array}}$