現代論理学（その４１） - １から始める数学

　現在２０２２年１１月２３日１９時５８分である。（この投稿は、ほぼ１４８９１文字）

麻友「私の知っていること、全部？」

私「数学に関することだけでいいから」

既に知っていること
使える武器
数学基礎論の登竜門
１から始める数学
１０より大きい数
自然数の乗法

既に知っていること

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麻友さんが、これまでに、数学に関して、知っていること。

（１）麻友さんの人生で、起こったこと。

（２）小学校の算数

　　（ⅰ）実数の足し算引き算掛け算割り算

　　（ⅱ）正三角形や、二等辺三角形、直角三角形、ひし形、長方形、平行四辺形、正方形、台形、などの図形の名前

　　（ⅲ）速さは、距離割る時間などの、単位の扱い方

（３）中学校の数学

　　（ⅰ）実数が、有理数と、無理数からなるという事実

　　（ⅱ）平行線の同位角が、等しいなどの、幾何学（きかがく）の知識

　　（ⅲ）文字式の展開、因数分解の知識（２次式まで）

　　（ⅳ）関数というものの概念

　　（ⅴ）三角比の知識

　　（ⅵ）３の倍数の見つけ方

（４）高校の数学

　　（ⅰ）文字式の展開、因数分解の知識（３次式以上）

　　（ⅱ）三角関数

　　（ⅲ）複素数

　　（ⅲ）数列

　　（ⅳ）ベクトル

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麻友「これくらいかなぁ。でも、数列やベクトルは、本当に、ちょっとだけよ」

私「なるほど、これくらいか。文系の女の人の知っていることって、これくらいだよな」

若菜「お母さんを、いじめるために、こんなこと、してるんですか？」

使える武器

私「いや、第一不完全性定理に、挑むに当たって、どれくらいの武器が、使えるのかなあと、思って」

結弦「足りるのかなあ？」

私「私が、この本のレビューに書いているように、

現代論理学〔新装版〕

作者:安井邦夫
世界思想社

Amazon

この本は、全く無から、第１不完全性定理まで、ギャップなく証明が、付いている。こんな本を書けたことを、安井邦夫さんが、入学した年、喜んでいたと、以前書いたね」

若菜「全く無から、とは、どういう意味ですか？」

私「 ${1+1}$ が、 ${2}$ であることにも、証明が付いてる」

麻友「太郎さんの『１から始める数学』も、全部、私を、納得させて進んだことを、考えると、レヴェルとしては、ほとんど同じね」

数学基礎論の登竜門

私「『（Gentzen による）１階の述語論理の、無矛盾性定理』、『（Gödelによる）１階の述語論理の、完全性定理』、『（Gödel）による）１階の述語論理の、不完全性定理』のうち、２つくらい証明を読破したら、数学基礎論に入門したと言ってよいだろうと、以前、数学セミナーに書いてあった。私自身は、もっと先まで進んでいるが、この本を読んだとき、得たものは、その後、非常に役に立っている。『自分の数学は、ここまでのレヴェルでは、絶対正しい』と、言い切れる範囲が、受験数学から、一気に、大学での数学の中枢まで、広がる」

若菜「ワクワクします」

１から始める数学

私「『現代論理学』の第Ⅲ章に入るに当たって、『１から始める数学（～その１５）』を要約した、

mayuandtaro.hatenablog.com

を、振り返って、いくつか復習する。

　定義　１

『１個と言ったり、一つと言ったり、一組と言ったり、ややこしいけど、麻友さんには、どれも同じように、個数が１つのものを表す言葉だと分かるだろう。』

という文章で使った、

『個数が１つのもの』

という言葉の、

『個数が１つ』

という抽象的概念を、

『 ${1}$ 』

と、表す。

　通常は、これを、『いち』と読む。

　定義　１　終わり

　定義　２

　新しく、『 ${+}$ 』という記号を導入する。

　これを、普通、『たす』とか、『プラス』と読む。

　使い方は、後で別に定める。

　定義　２　終わり

　定義　３

　定義　１で、定義してある、『 ${1}$ 』（いち）と、

　定義　２で、定義してある、『 ${+}$ 』（たす）とを用いて、

『 ${1+1}$ 』という記号の列を作ることを許す。

　『 ${1+1}$ 』を、通常『いち、たす、いち』と、読む。

　『 ${1+1}$ 』が、何を表しているかは、後で別に定める。

　定義　３　終わり

　定義　４

　新しく、『 ${=}$ 』という記号を導入する。

　これを、普通、『イコール』とか、『～は、…』と読む。

　使い方は、後で別に定める。

　定義　４　終わり

「ちょっと！使い方は、後で定めるとかすると、またつけ込まれるわよ。」

　そうだね。

　じゃあ、その部分を補強しよう。

　定義　５

　記号、

『 ${1}$ 』

は、自然数であると定める。

　定義　５　終わり

　定義　６

　記号、

『 ${1+1}$ 』

は、自然数であると定める。

　定義　６　終わり

　＜模様として同じなら、記号『 ${=}$ 』で結ぶことを許す。＞

　定義　７

　自然数が２つある時、その２つが、模様として同じなら、記号『 ${=}$ 』で結ぶことを許す。

　つまり、自然数 ${A}$ と、 ${B}$ が、記号の並びとして同じなら、

『 ${A=B}$ 』

と書けると定義するのである。

　定義　７　終わり

　定義　８

　新しく、『 ${2}$ 』という記号を導入する。

　これを、普通、『に』と読む。

　使い方は、後で別に定める。

　定義　８　終わり

　定義　９

　記号『 ${2}$ 』を、『 ${1+1}$ 』の省略記号であると定める。

　これにより、『 ${2}$ 』と書いてあったら、本来そこには、『 ${1+1}$ 』と書いてあるのだと、思うわけである。

　定義　９　終わり

　定理　１０

${1+1 \neq 1}$

　すなわち、

${2 \neq 1}$

が、成り立つ。

　証明

『 ${=}$ 』の定義より。

　証明終わり

　ただし、

　定義　１１

　新しく、『 ${\neq}$ 』という記号を導入する。

　これを、普通、『等しくない』と読む。

　『 ${=}$ 』が、成り立たない時、この記号に、置き換える。

　定義　１１　終わり

　定義　１２

　 ${A}$ と ${B}$ が、すでに自然数だと分かっているとする。

　この時、 ${+}$ の記号を用いて、

${A+B}$

と書かれる記号の列は、自然数である。

　定義　１２　終わり

　定義　１３

　 ${A}$ と ${B}$ が自然数であるとき、定義　１２　により、

${A+B}$

は、自然数である。

　この、 ${A}$ と ${B}$ に、 ${A+B}$ を対応させる操作を、

『エイ、たす、ビー』

という。

『エイ、と、ビー、の足し算』

とも言う。

　定義　１３　終わり

　定理　１４

　任意の自然数 ${A}$ と ${B}$ について、

${A+B=B+A}$

が、成立する。

　証明

　 ${A+B=B+A}$ ということは、等号の左辺と右辺の模様が同じということだった。

　この場合、並んでいる ${1}$ の数が、等しいということだ。

　 ${A}$ に並んでいる ${1}$ の数と ${B}$ に並んでいる ${1}$ の数は、順番を入れ換えても、変化しないはずである。

　だから、 ${A+B}$ の ${1}$ の数と ${B+A}$ の ${1}$ の数は、等しいはずである。

　よって、 ${A+B=B+A}$ が、証明された。

　証明終わり

　定義　１５

　 ${A}$ と ${B}$ を、自然数とする。

　このとき、 ${A+C=B}$ となる、自然数 ${C}$ が、ある時、

${A < B}$ （エイ、しょうなり、ビー、と読む。）

と書くことに、定める。

　また、 ${A=B+C}$ となる、自然数 ${C}$ が、ある時、

${A > B}$ （エイ、だいなり、ビー、と読む。）

と書くことに定める。

　定義　１５　終わり

　定義　１６

　ある定義が、矛盾なくきちんと定義できていることを、

『ウェルデファインド ${(\mathrm{wellｰdefined})}$ である。』

と言う。

　定義　１６　終わり

　定理　１７

　自然数 ${A}$ と ${B}$ について、

${A < B}$ と ${A=B}$ と ${A > B}$ の３つのうち、１つそして１つのみが、成り立つ。

　証明

１） ${A=B}$ が、成り立つ時、自然数 ${C}$ を持ってきて、 ${A+C}$ とすれば、 ${A+C=B}$ ではなくなるし、また、 ${B+C}$ とすれば、やはり ${A=B+C}$ ではなくなるので、 ${A=B}$ のときは、 ${A < B}$ や ${A > B}$ は、成り立たない。

２） ${A=B}$ でない時。

私達の自然数は、 ${1}$ を並べたものに限られるので、左辺か右辺のどちらかが、 ${1}$ が多いのである。

２）－１）右辺の方が、多かったとしよう。この場合、足りない数だけの ${1}$ を、用意し、 ${+}$ でつなぎ合わせて、自然数 ${C}$ を作ると、 ${A+C=B}$ となる。この時、 ${A < B}$ である。

　ところで、この場合、 ${A}$ より ${B}$ の方が、 ${1}$ の数が多いので、 ${A=B+C}$ とは、ならない。

　従って、この時、 ${A > B}$ とは、ならない。

２）－２）左辺の方が、多かったとしよう。この場合、２）－１）の議論と同じようにして、 ${A > B}$ が、証明される。

　そして、この時、 ${A < B}$ とは、ならない。

３）以上により、すべての場合がつくされていて、どの２つも重ならないことが証明された。

　証明終わり

　
　ブログ本文で、番号を付けた、定義、公理、定理、は、以上であるが、主に最後の『１から始める数学（その１５）』において、整数を作るために、多くの定義を導入している。

　明文化したいが、まだ、できていない。（追記：『整数環（～その７）』で、かなり補った。以下に述べる）

　定理　２５　　　　足し算の結合法則

　自然数 ${A,B,C}$ について、

${(A+B)+C=A+(B+C)}$

が成り立つ。

　証明

　今、３つの自然数を、次のようなものとしよう。

${A=1+1+1}$

${B=1+1+1+1}$

${C=1+1}$

　この時、

${A+B+C}$

として、

${(1+1+1)+(1+1+1+1)+(1+1)=1+1+1+1+1+1+1+1+1}$

を結果として与えることに定義すると、これは、

${(A+B)+C= \bigl((1+1+1)+(1+1+1+1)\bigr)+(1+1)}$

と、同じであり、

${A+(B+C)=(1+1+1)+\bigl((1+1+1+1)+(1+1)\bigr)}$

とも同じである。

　ここで、同じであるとは、つまり、１の並んでいる絵が、模様として同じであるということである。

　ただし、括弧『（）』は、見る人のためにつけてあるだけで、自然数の絵としては、そんなものはないとする。

　そうすると、

${(A+B)+C=A+(B+C)}$

であり、足し算の結合法則が、成り立つ。

　そこで、以後、

${A+B+C=(A+B)+C=A+(B+C)}$

を、 ${A+B+C}$ の定義とする。

　定理　２５　証明終わり

　証明できているのだろうかと、余り悩まないで。

『整数環（その５）』より

　定義　２６　座標

　 ${A,B}$ 　を自然数とするとき、

　 ${(A,B)}$

のように、括弧（かっこ）でくくって、２つの自然数を書いたものを、自然数に値（あたい）をとる座標（ざひょう）という。

　 ${(A,B)=(C,D)}$

の時には、

　 ${A=C　かつ　B=D}$

が成り立っているものと、約束する。

　定義　２６　終わり

　公理　２７

　自然数全部の集まりを、今までこうしてきた。

${\mathbb{N}=\{X|\forall Y(1 \in Y \wedge \forall Z(Z \in Y \Rightarrow Z+1 \in Y) \Rightarrow X \in Y) \} }$

　この定義を、０を含む自然数では、

${\mathbb{N}=\{X|\forall Y(0 \in Y \wedge \forall Z(Z \in Y \Rightarrow Z+1 \in Y) \Rightarrow X \in Y) \} }$

と、改める。今後は、自然数は、宝塚の自然数といった場合を除き、０を含むとする。

　公理　２７　終わり

　１が入っていて、Ｚが入ってれば、Ｚ＋１も入っていて、そういうものだけなのは、自然数の集合だけ。ということである。

　定義　２８　正の整数

　 ${n \in \mathbb{N}}$ 　を、自然数とするとき、集合、

${\{(X+n,X)|X \in \mathbb{N}\}}$

を、整数の　 ${n}$ 　と呼び、混乱の恐れのないときは、これも、 ${n}$ 　と書く。

　定義　２８　終わり

　定義　２９　 ${\mathbb{N}}$ 　の直積（ちょくせき）

${\mathbb{N \times N}:= \{(m,n)|m \in \mathbb{N} \wedge n \in \mathbb{N} \} }$

と、定義して、左辺を、自然数　 ${\mathbb{N}}$ 　の直積（ちょくせき）という。 ${\mathbb{N}^2}$ 　とも書く。

　定義　２９　終わり

『:=』という記号は、右辺によって、左辺を定義します。という記号。

　今後は、これらは、同じものとするよ、という意味だと思って下さい。

　定義　３０　整数のゼロ

　以下の集合を、整数のゼロと呼ぶ。

${0:=\{ (X,X) |X \in \mathbb{N} \}}$

　定義　３０　終わり

　定義　３１　負の整数

　 ${n \in \mathbb{N}}$ 　を、自然数とするとき、集合、

${\{(X,X+n)|X \in \mathbb{N}\}}$

を、整数のマイナスエヌと呼び、混乱の恐れのないときは、これを、 ${-n}$ 　と書く。

　定義　３１　終わり

　混乱の恐れのないとき、というのは、私達の自然数は、 ${1+1+1}$ みたいなものだけでしたね。

　ところで、ここで定義した、マイナスさんというのは、

${\{(1,1+1+1+1),(1+1,1+1+1+1+1),\cdots \}}$

というような、集合なんですよ。これが、整数のマイナスさんなのです。

　ところで、混乱の恐れがないときは、これを、 ${-(1+1+1)}$ と、表しますよ。という注意なんです。

　 ${3}$ は、 ${1+1+1}$ の省略記号ですから、 ${-3}$ と、書くことも許されます。念のため。

　定義　３２　整数の加法

　２つの整数、 ${[(A,B)]}$ 　と　 ${[(C,D)]}$ 　に対し、それらの和を、

${[(A,B)]+[(C,D)]:=[(A+C,B+D)]}$

によって、定義する。これを求める算法を、加法という。

　定義　３２　終わり

　定義　３３　マイナス

　整数、 ${n=[(A,B)]}$ 　に対し、

${-n:=[(B,A)]}$

によって、マイナスエヌを定義する。

　定義　３３　終わり

　定義　３４　減法

　整数　 ${m,n}$ 　に対し、

${m-n:=m+(-n)}$

を、エム引くエヌといい、この演算を減法という。引き算ともいう。

　定義　３４　終わり

　注．以下の定理　３８は、この投稿の次の投稿で、定理　３８（改）という新しいバージョンに置き換えた。自然数の乗法の定義を、以前の定義　３５，３７改　から、下の方の定義　３９に進化させたからである。

foundations.hatenablog.com

の様に、掛ける数を、１を上に並べて、馴染みやすくしたのである。

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　定理　３８　　乗法の交換法則

　 ${m,n}$ を自然数とするとき、 ${m \times n=n \times m}$ が、成り立つ。

という定理だ。

　さて、これを、証明するとき、次のように、やる。

　第１段階

　任意の自然数、 ${m}$ について、 ${n=1}$ のとき、成り立つことを、証明する。

${m \times n=n \times m}$ で、左辺は ${m \times 1}$ であるから、 ${m}$ を ${1}$ に代入して、

${m \times 1 = m}$
${~~~~~~~~~~~~~~~\uparrow}$
${~~~~~~~~1=1}$

　一方右辺は、 ${1 \times m}$ であるから、 ${1}$ を、 ${m}$ 個の ${1}$ に代入して、

${1 \times m = \overbrace{1+ \cdots +1}^m}$
${~~~~~~~~~~~~~~~\uparrow~~~~~~~~~~~~~\uparrow}$
${~~~~~~~m=\underbrace{1+ \cdots +1}_m}$

である。従って、両辺が等しくて、 ${n=1}$ のとき、成り立つ。

「なんか、当たり前の気がするけど」

　いや、いつも、第１段階は、こうなんだ。

　第２段階

　任意の自然数、 ${m}$ について、自然数 ${k}$ 以下のすべての自然数 ${n}$ について、定理が成り立つとして、 ${n=k+1}$ でも定理が成り立つことを、証明する。

　仮定より、 ${m \times k=k \times m}$ である。

　 ${m \times (k+1) =(k+1) \times m}$ を、証明したい。

　さて、左辺を計算して、右辺を導出できれば良いが、途中で、行き詰まる。

　こういうときは、右辺の方から、お迎えに行った方が、良いこともある。

${(k+1) \times m = \overbrace{(k+1)+ \cdots +(k+1)}^m}$
${~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\uparrow~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\uparrow}$ 　　 ${m}$ 個の ${1}$ に ${(k+1)}$ を代入。
${~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~m= \underbrace{1+ \cdots \cdots \cdots +1}_m}$ 　　つまり ${(k+1)}$ が ${m}$ 個。

　右辺を整理して、

${~~~~~~~=k \times m +m}$

　帰納法の仮定より、

${~~~~~~=m \times k + m}$

${~~~~~~~= \overbrace{m+ \cdots +m}^k +m}$
${~~~~~~~~~~~~~\uparrow~~~~~~~~~~~~~\uparrow~~~~ \uparrow}$ 　　 ${m \times k}$ を ${k}$ 個の ${1}$ に ${m}$ を代入したと捉える。
${k+1= \underbrace{1+ \cdots +1}_k~+1}$

${~~~~~~~~~= \overbrace{m+ \cdots +m}^{k+1}}$
${~~~~~~~~~~~~~~\uparrow~~~~~~~~~~~~~~\uparrow}$ 　　仲間はずれの、 ${m}$ を加えて、まとめる。
${k+1= \underbrace{1+~ \cdots ~+1}_{k+1}}$ 　　 ${m}$ が ${k+1}$ 個と捉える。

${~~~~~=m \times (k+1)}$

　以上で、求めたかった式が得られた。

「うっ、結構難しいわね」

　ひとつひとつの式の変形が、ギャップのあるものに感じられるかも知れないけど、これくらいに、付いてこられないと、この先、厳しい。

「太郎さん、意欲のある中学生でも読めるようにすると言っておきながら、突き放すのね」

　ある水準まで、読者のレヴェルを上げないと、面白い話が書けないんだ。

「私は、『フーリエの冒険』だって、難しいレヴェルよ」

　難しい部分は、何度も説明するよ。

　さて、

　第３段階

　以上により、全ての自然数 ${n}$ に対して、 ${m \times n=n \times m}$ が、成立する。 ${m}$ も、任意だったから、任意の自然数 ${m,n}$ について、乗法の交換法則が、成り立つことが、証明された。

　　　証明終わり

＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊

　注．以上を、書き換えたのである。

「えっ、これで、証明されたの？」

　この３ステップを行うだけで、任意の自然数について、目当ての定理が成立することを証明できるところが、数学的帰納法の強みだ。

「でも、どうして、これだけで、いいの？　うまく表現できないけど、例えば、 ${m \times n}$ の ${n}$ の方だけでなく、 ${m}$ の方も、 ${k+1}$ とかしなくていいの？」

　そう。特待生の麻友さんは、そういう質問をしなきゃ。

「えっ、痛いところ突いた？」

　痛いという程じゃないけど、説明しにくいところを、突いてきたな。

　これは、すっごく意味を考えながら、証明しないといけない、証明法なんだ。

　まず、 ${m \times n=n \times m}$ の、 ${n=1}$ の場合を、証明したね。

　この証明は、すべての ${m}$ について、成立するという証明だった。

　だから、次は、 ${n=1}$ なら、すべての ${m}$ について、成り立っているという仮定を置いて、先に進めるんだ。

　今度は、 ${n=2}$ の場合となる。

「ちょっと待って、太郎さんは、 ${n=2}$ の場合なんて、証明しなかった」

　実は、してるんだよ。

　 ${n=k}$ の場合正しいとして、 ${n=k+1}$ の場合を証明している。

　この ${k}$ として、 ${1}$ を取ると、 ${n=1}$ が正しいことを仮定して、 ${n=2}$ の場合を証明していることになるでしょ。

「あっ、そうか。そして、 ${n=2}$ の場合も、任意の ${m}$ について証明してるから、それを元に、次は、 ${n=3}$ の場合、その次は、 ${n=4}$ の場合と、どんどん証明できて行くんだ。改めて、 ${m}$ の方にも、 ${m=k+1}$ とかしなくていいんだ」

　今のはちょっと、特待生の突っ走りだったけど、正しいことを言ってる。

「私、数学の才能ある？」

　私、年取って思うんだけど、あるところから先は、才能より、どれだけそれを好きかが、自分を懸けて良いかの一番の要因だと思う。

１０より大きい数

　さて、 ${10}$ より大きい数を、表せるようにするよ

　定義　４０　自然数の省略記号の定義

　以下の左辺は、右辺の数字の並びの省略記号であると、定義する。例えば、 ${5}$ と、書いてあったら、 ${1+1+1+1+1}$ と書いてあるものと、見なして良いと、するのである。

${2=1+1}$

${3=2+1}$

${4=3+1}$

${5=4+1}$

${6=5+1}$

${7=6+1}$

${8=7+1}$

${9=8+1=1+1+1+1+1+1+1+1+1}$

${10=9+1=1+1+1+1+1+1+1+1+1+1}$

　定義の仕方により、省略の仕方は、一意的ではない。例えば、

${9=1+1+1+1+1+1+1+1+1=1+1+3+1+3}$

と、書いても良いし、

${9=1+1+1+1+1+1+1+1+1=1+1+7}$

と、書いても良い。

　以上で、 ${10}$ までの自然数の省略記号が、定まった。

　定義　４０　終わり

麻友「でも、 ${10}$ 以上は、どうするの？」

私「実は、私自身、名案がなくて、今までズルズル来ちゃったんだ」

麻友「えっ、名案がないって、太郎さん今まで全部、自分のアイディアで、話してきたの？」

私「自分の持ってる最良の説明で、乗り切ってきた。ただ、これは、どうしたものかな？　と、困ってた」

若菜「過去形」

結弦「乗り切ったんだ」

私「最初の定義に戻ってみると、どんな自然数でも、 ${1}$ を、足し合わせたもの。そこで、 ${1}$ から、 ${9}$ までで、省略しきれなかった場合、それは、 ${10}$ か、それ以上だ。そこで、 ${10}$ なら、それで終わり。もし、 ${10}$ より大きかったら、そこまでを、 ${10}$ に置き換えて、省略し、残りを調べ始める。これが、 ${10}$ 以下で収まるなら、例えば、 ${7}$ とかなら、 ${10+7}$ と、省略記号で書く。例えば、こういうこと」

${1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1}$

${~~~=10+1+1+1+1+1+1+1=10+7}$

若菜「当然、 ${19}$ を、越えた場合、問題になりますが」

私「大丈夫。

${1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1}$
${~~~~+1+1+1+1}$
${=10+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1}$
${=10+10+4}$

と、できる」

麻友「じゃあ、 ${100}$ は？」

私「こう書ける」

${10+10+10+10+10+10+10+10+10+10}$

結弦「でも、それじゃ、 ${10}$ が、いくつあるか、分からない」

私「それに、成功したから、今日書いている。

　定義　４１　自然数の省略記号の定義（その２）

　 ${10}$ が、 ${10}$ 個、つまり、 ${10}$ 個の ${1}$ に ${10}$ を、代入する。

${~~~~~~~~~~10=~1~+~~1~+~1~+~1~+~1~+~1~+~1~+~1~+~1~+~1 \\ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\downarrow ~~~~~ \downarrow ~~~~ \downarrow ~~~~~ \downarrow ~~~~~ \downarrow ~~~~~ \downarrow ~~~~~ \downarrow ~~~~ \downarrow ~~~~~ \downarrow ~~~~~ \downarrow \\ ~10 \times 10 =10+10+10+10+10+10+10+10+10+10}$

　この数だけの ${1}$ の集まりと、同じ絵になる、 ${1}$ の列は、掛けられる数、 ${10}$ の次に、 ${0}$ を書いて、 ${100}$ という省略記号で、表すと、定義する。

　今後、さらに大きい数になった場合、掛けられる数を、 ${100}$ として、それが、 ${10}$ 個なら、 ${100}$ の次に、 ${0}$ を書いて、 ${1000}$ とする。

${~~~~~~~~~~~10=~1~~+~~1~~+~~1~~+~~1~~+~~1~~+~~1~~+~~1~~+~~1~~+~~1~~+~~1 \\ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\downarrow ~~~~~~~ \downarrow ~~~~~~~ \downarrow ~~~~~~~ \downarrow ~~~~~~ \downarrow ~~~~~~~ \downarrow ~~~~~~~ \downarrow ~~~~~~~ \downarrow ~~~~~~ \downarrow ~~~~~~~ \downarrow \\ 100 \times 10 =100+100+100+100+100+100+100+100+100+100}$

　さらに大きく、掛けられる数（代入する数）が、 $1\overbrace{0 \cdots 0}^{n個}$ なら、 ${10}$ を掛けた数とは、 ${1 \overbrace{0 \cdots 0}^{n+1個}}$ だけ、 ${1}$ があると、表すと、定義する。
　つまり、 $1\overbrace{0 \cdots 0}^{n個} \times 10 =1 \overbrace{0 \cdots 0}^{n+1個}$ である。

　この方法で、 ${1}$ が並んでいて、 ${1000}$ が、 ${1}$ 個、 ${100}$ が、 ${9}$ 個、 ${10}$ が、 ${9}$ 個あり。最後に、 ${4}$ 個、 ${1}$ が残る数は、 ${1994}$ と表され、上のような計算で求まる個数だけの ${1}$ が、並んでいる絵の省略形である。つまり、普通に ${1994}$ （せんきゅうひゃくきゅうじゅうよん）である。

　定義　４１　終わり

私「余り、歯切れの良い、定義ではないが、今回は、こうして、定めておく。今後、もっと良い定義を思い付いたら、差し替える。そして、次の言葉を定義する」

　定義　４２　位取り記数法（くらいどりきすうほう）

　前定義（定義　４１）で、行った、大きい数の記述法では、 ${1000}$ が、 ${1}$ 個、 ${100}$ が、 ${9}$ 個、 ${10}$ が、 ${9}$ 個あり。最後に、 ${4}$ 個、 ${1}$ が残る数であれば、 ${1994}$ と表されていた。この ${1}$ 個、とか、 ${9}$ 個、とか、 ${4}$ 個という数の大きさが、 ${0}$ から ${9}$ の間にないと、上手く一通りには、表せない。例えば、下から二桁目に、 ${13}$ があって、無理矢理、 ${3(13)2}$ と表される数は、 ${100 \times 3 + 10 \times 13 +2=432}$ となる。要するに、別な仕方、つまり、 ${3(13)2}$ でなく、 ${432}$ 、でも表せることになる。

　ここで、表記の一意性（一通りにのみ表せること）を確保するため、 ${10}$ を単位に、数を表すときには、各桁の数字は、 ${0}$ から ${9}$ とすることに、定める。

　数を表すのに、ローマ数字（Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ,Ⅴ,Ⅵ,Ⅶ,Ⅷ,Ⅸ,Ⅹ,Ⅺ,・・・）のように、 ${0}$ を使わないものもあるが、私達のように、右から一桁目は、その数字そのもの。二桁目は、数字の十倍、三桁目は、数字の百倍というように、桁の位置によって、大きさを伝える記数法を、位取り記数法と呼ぶ。今の場合、 ${10}$ を底（てい）とする位取り記数法である。

　定義　４２　終わり

結弦「当たり前なことって、説明するのが、難しいんだな。 ${1994}$ 個、 ${1}$ を並べて、実験してみせるわけにも、行かないし。僕は、どう習ったっけな？」

若菜「私は、たくさん計算させられて、当たり前のことと、思うようになったように、思うわ」

麻友「太郎さん。これは、自然数の話だけど、太郎さんの好きな、『解析入門Ⅰ』にも、こういうことが、ちゃんと書いてあるの？」

私「『解析入門Ⅰ』には、易しいこと過ぎて、書かれてない。小学生向けの本の方が、丁寧に書いてあると思う」

若菜「取り敢えず、これで、普通に数を、表せるように、なりました」

結弦「次は、小数、分数、負の数だね」

麻友「 ${0}$ は、表せているのかしら？」

私「 ${0}$ は、作ったじゃない。まあ、後で、復習しよう。翌朝まで、書いていたみたいだが、７時間以上、寝ているからね。じゃあ、バイバイ」