０から始める数学（その４） - １から始める数学

　現在２０２０年９月３日１０時３２分である。

麻友「一応、この連載も、続けるのね」

若菜「４回目まで、来てますが、ほとんど進んでませんね」

私「今日は、早い時間から始めたから、かなり進めるつもりだ」

結弦「どういう話？」

私「以前、ドラえもんのブログで、 ${1+1}$ の省略記号として、 ${2}$ を、定義した。だけど、 ${1+1+1}$ の省略記号として、 ${3}$ を定義することなどは、やらなかった。そういう、未消化の部分を、補いたい」

麻友「このブログでは、

　定義　１　　　　１（いち）

　月の個数は１個、あるいは、宇宙の個数は１個、などというときの、『１個』という概念を記号『１』で表し、通常『いち』と読む。

　定義　１　終わり

と、なっていた。しつこくなるから、宝塚の話は、カットよ」

若菜「ドラえもんのブログでは、

　定義　２

　新しく、『 ${+}$ 』という記号を導入する。

　これを、普通、『たす』とか、『プラス』と読む。

　使い方は、後で別に定める。

　定義　２　終わり

　定義　３

　定義　１で、定義してある、『 ${1}$ 』（いち）と、

　定義　２で、定義してある、『 ${+}$ 』（たす）とを用いて、

『 ${1+1}$ 』という記号の列を作ることを許す。

　『 ${1+1}$ 』を、通常『いち、たす、いち』と、読む。

　『 ${1+1}$ 』が、何を表しているかは、後で別に定める。

　定義　３　終わり

　定義　４

　新しく、『 ${=}$ 』という記号を導入する。

　これを、普通、『イコール』とか、『～は、…』と読む。

　使い方は、後で別に定める。

　定義　４　終わり

と、進みますね」

私「そして、イコールの使い方を定義するが、こんな風に、模様として等しければ、イコールだ、なんていう定義は、数学が進むと、通用しなくなるのだが、今は、そうしておこう」

　定義　５

　記号、

『 ${1}$ 』

は、自然数であると定める。

　定義　５　終わり

　定義　６

　記号、

『 ${1+1}$ 』

は、自然数であると定める。

　定義　６　終わり

　定義　７

　自然数が２つある時、その２つが、模様として同じなら、記号『 ${=}$ 』で結ぶことを許す。

　つまり、自然数 ${A}$ と、 ${B}$ が、記号の並びとして同じなら、

『 ${A=B}$ 』

と書けると定義するのである。

　定義　７　終わり

私「より一般のイコールの定義は、１から始める数学の段階から、０から始める数学の段階に移ったとき、見せるよ」

若菜「そして、やっと、 ${2}$ ですが」

　定義　８

　新しく、『 ${2}$ 』という記号を導入する。

　これを、普通、『に』と読む。

　使い方は、後で別に定める。

　定義　８　終わり

　定義　９

　記号『 ${2}$ 』を、『 ${1+1}$ 』の省略記号であると定める。

　これにより、『 ${2}$ 』と書いてあったら、本来そこには、『 ${1+1}$ 』と書いてあるのだと、思うわけである。

　定義　９　終わり

私「この定義を、改造しよう」

　定義　８　（改）

　新しく、『 ${2,3,4,5,6,7,8,9}$ 』という記号を導入する。

　これを、普通、『に、さん、し、ご、ろく、なな、はち、きゅう』と読む。

　使い方は、後で別に定める。

　定義　８　終わり

　定義　９　（改）

　記号『 ${2}$ 』を、『 ${1+1}$ 』の省略記号であると定める。

　これにより、『 ${2}$ 』と書いてあったら、本来そこには、『 ${1+1}$ 』と書いてあるのだと、思うわけである。

　同様に、

${3=1+1+1}$

${4=1+1+1+1}$

${5=1+1+1+1+1}$

${6=1+1+1+1+1+1}$

${7=1+1+1+1+1+1+1}$

${8=1+1+1+1+1+1+1+1}$

${9=1+1+1+1+1+1+1+1+1}$

というように、右辺の省略記号として、左辺の数字を、定義する。

　これにより、『 ${7}$ 』と書いてあったら、本来そこには、『 ${1+1+1+1+1+1+1}$ 』と書いてあるのだと、思うわけである。

　定義　９　終わり

麻友「ああ、これで、 ${9}$ まで、使えるように、なったわね。じゃあ、 ${10}$ は？」

私「まだ、 ${0}$ を定義していないから、 ${10}$ とは、書けない」

結弦「でも、 ${10}$ 個の ${1}$ の並びは、 ${9+1}$ と、書くことは、できるよね」

私「うん」

若菜「 ${8+2}$ でも、いいですね」

私「もちろん」

麻友「あっ、そうなんだ。じゃあ、 ${10}$ 以上でも、表せないことは、ないんだ」

私「そうだよ」

若菜「その後、ドラえもんのブログでは、 ${1+1}$ が、 ${1}$ とは、違うということを、導きました。イコールで、結べるのは、両辺が同じ模様のときだけだから、ということを、利用して」

　定理　１０

${1+1 \neq 1}$

　すなわち、

${2 \neq 1}$

が、成り立つ。

　証明

『 ${=}$ 』の定義より。

　証明終わり

　ただし、

　定義　１１

　新しく、『 ${\neq}$ 』という記号を導入する。

　これを、普通、『等しくない』と読む。

　『 ${=}$ 』が、成り立たない時、この記号に、置き換える。

　定義　１１　終わり

麻友「この辺から、気をつけて読んでいないと、分からなくなりだしたのよね」

結弦「自然数とは、何か、足し算とは、何か、と、どんどん難しくなる」

　定義　１２

　 ${A}$ と ${B}$ が、すでに自然数だと分かっているとする。

　この時、 ${+}$ の記号を用いて、

${A+B}$

と書かれる記号の列は、自然数である。

　定義　１２　終わり

　定義　１３

　 ${A}$ と ${B}$ が自然数であるとき、定義　１２　により、

${A+B}$

は、自然数である。

　この、 ${A}$ と ${B}$ に、 ${A+B}$ を対応させる操作を、

『エイ、たす、ビー』

という。

『エイ、と、ビー、の足し算』

とも言う。

　定義　１３　終わり

若菜「そして、加法の交換法則まで、出てきた」

　定理　１４

　任意の自然数 ${A}$ と ${B}$ について、

${A+B=B+A}$

が、成立する。

　証明

　 ${A+B=B+A}$ ということは、等号の左辺と右辺の模様が同じということだった。

　この場合、並んでいる ${1}$ の数が、等しいということだ。

　 ${A}$ に並んでいる ${1}$ の数と ${B}$ に並んでいる ${1}$ の数は、順番を入れ換えても、変化しないはずである。

　だから、 ${A+B}$ の ${1}$ の数と ${B+A}$ の ${1}$ の数は、等しいはずである。

　よって、 ${A+B=B+A}$ が、証明された。

　証明終わり

麻友「加法の交換法則は、この証明で、良かったの？」

私「証明という言葉を、定義することも、できるんだけど、その場合は、『これこれの立場での証明とは、こういうものである』というように、あくまでも、立場を明確にしなければ、ならない。私達は、『私達の立場での証明は、相手を納得させられる議論ができるものとする』という程度の、ある程度幅のある定義を採用していることに、なるんだ」

若菜「不等号についての、次の証明も、そういう立場ですか」

私「そうだよ」

　定義　１５

　 ${A}$ と ${B}$ を、自然数とする。

　このとき、 ${A+C=B}$ となる、自然数 ${C}$ が、ある時、

${A < B}$ （エイ、しょうなり、ビー、と読む。）

と書くことに、定める。

　また、 ${A=B+C}$ となる、自然数 ${C}$ が、ある時、

${A > B}$ （エイ、だいなり、ビー、と読む。）

と書くことに定める。

　定義　１５　終わり

　定義　１６

　ある定義が、矛盾なくきちんと定義できていることを、

『ウェルデファインド ${(\mathrm{well}}$ - ${\mathrm{defined})}$ である。』

と言う。

　定義　１６　終わり

　定理　１７

　自然数 ${A}$ と ${B}$ について、

${A < B}$ と ${A=B}$ と ${A > B}$ の３つのうち、１つそして１つのみが、成り立つ。

　証明

１） ${A=B}$ が、成り立つ時、自然数 ${C}$ を持ってきて、 ${A+C}$ とすれば、 ${A+C=B}$ ではなくなるし、また、 ${B+C}$ とすれば、やはり ${A=B+C}$ ではなくなるので、 ${A=B}$ のときは、 ${A < B}$ や ${A > B}$ は、成り立たない。