現在2020年9月3日10時32分である。(この投稿は、ほぼ4904文字)
麻友「一応、この連載も、続けるのね」
若菜「4回目まで、来てますが、ほとんど進んでませんね」
私「今日は、早い時間から始めたから、かなり進めるつもりだ」
結弦「どういう話?」
私「以前、ドラえもんのブログで、 の省略記号として、 を、定義した。だけど、 の省略記号として、 を定義することなどは、やらなかった。そういう、未消化の部分を、補いたい」
麻友「このブログでは、
定義 1 1(いち)
月の個数は1個、あるいは、宇宙の個数は1個、などというときの、『1個』という概念を記号『1』で表し、通常『いち』と読む。
定義 1 終わり
と、なっていた。しつこくなるから、宝塚の話は、カットよ」
若菜「ドラえもんのブログでは、
定義 2
新しく、『』という記号を導入する。
これを、普通、『たす』とか、『プラス』と読む。
使い方は、後で別に定める。
定義 2 終わり
定義 3
定義 1で、定義してある、『』(いち)と、
定義 2で、定義してある、『』(たす)とを用いて、
『』という記号の列を作ることを許す。
『』を、通常『いち、たす、いち』と、読む。
『』が、何を表しているかは、後で別に定める。
定義 3 終わり
定義 4
新しく、『』という記号を導入する。
これを、普通、『イコール』とか、『~は、…』と読む。
使い方は、後で別に定める。
定義 4 終わり
と、進みますね」
私「そして、イコールの使い方を定義するが、こんな風に、模様として等しければ、イコールだ、なんていう定義は、数学が進むと、通用しなくなるのだが、今は、そうしておこう」
定義 5
記号、
『』
は、自然数であると定める。
定義 5 終わり
定義 6
記号、
『』
は、自然数であると定める。
定義 6 終わり
定義 7
自然数が2つある時、その2つが、模様として同じなら、記号『』で結ぶことを許す。
つまり、自然数と、が、記号の並びとして同じなら、
『』
と書けると定義するのである。
定義 7 終わり
私「より一般のイコールの定義は、1から始める数学の段階から、0から始める数学の段階に移ったとき、見せるよ」
若菜「そして、やっと、 ですが」
定義 8
新しく、『』という記号を導入する。
これを、普通、『に』と読む。
使い方は、後で別に定める。
定義 8 終わり
定義 9
記号『』を、『』の省略記号であると定める。
これにより、『』と書いてあったら、本来そこには、『』と書いてあるのだと、思うわけである。
定義 9 終わり
私「この定義を、改造しよう」
定義 8 (改)
新しく、『』という記号を導入する。
これを、普通、『に、さん、し、ご、ろく、なな、はち、きゅう』と読む。
使い方は、後で別に定める。
定義 8 終わり
定義 9 (改)
記号『』を、『』の省略記号であると定める。
これにより、『』と書いてあったら、本来そこには、『』と書いてあるのだと、思うわけである。
同様に、
というように、右辺の省略記号として、左辺の数字を、定義する。
これにより、『』と書いてあったら、本来そこには、『』と書いてあるのだと、思うわけである。
定義 9 終わり
麻友「ああ、これで、 まで、使えるように、なったわね。じゃあ、 は?」
私「まだ、 を定義していないから、 とは、書けない」
結弦「でも、 個の の並びは、 と、書くことは、できるよね」
私「うん」
若菜「 でも、いいですね」
私「もちろん」
麻友「あっ、そうなんだ。じゃあ、 以上でも、表せないことは、ないんだ」
私「そうだよ」
若菜「その後、ドラえもんのブログでは、 が、 とは、違うということを、導きました。イコールで、結べるのは、両辺が同じ模様のときだけだから、ということを、利用して」
定理 10
すなわち、
が、成り立つ。
証明
『』の定義より。
証明終わり
ただし、
定義 11
新しく、『』という記号を導入する。
これを、普通、『等しくない』と読む。
『』が、成り立たない時、この記号に、置き換える。
定義 11 終わり
麻友「この辺から、気をつけて読んでいないと、分からなくなりだしたのよね」
結弦「自然数とは、何か、足し算とは、何か、と、どんどん難しくなる」
定義 12
とが、すでに自然数だと分かっているとする。
この時、の記号を用いて、
と書かれる記号の列は、自然数である。
定義 12 終わり
定義 13
とが自然数であるとき、定義 12 により、
は、自然数である。
この、とに、を対応させる操作を、
『エイ、たす、ビー』
という。
『エイ、と、ビー、の足し算』
とも言う。
定義 13 終わり
若菜「そして、加法の交換法則まで、出てきた」
定理 14
任意の自然数とについて、
が、成立する。
証明
ということは、等号の左辺と右辺の模様が同じということだった。
この場合、並んでいるの数が、等しいということだ。
に並んでいるの数とに並んでいるの数は、順番を入れ換えても、変化しないはずである。
だから、のの数とのの数は、等しいはずである。
よって、が、証明された。
証明終わり
麻友「加法の交換法則は、この証明で、良かったの?」
私「証明という言葉を、定義することも、できるんだけど、その場合は、『これこれの立場での証明とは、こういうものである』というように、あくまでも、立場を明確にしなければ、ならない。私達は、『私達の立場での証明は、相手を納得させられる議論ができるものとする』という程度の、ある程度幅のある定義を採用していることに、なるんだ」
若菜「不等号についての、次の証明も、そういう立場ですか」
私「そうだよ」
定義 15
とを、自然数とする。
このとき、となる、自然数が、ある時、
(エイ、しょうなり、ビー、と読む。)
と書くことに、定める。
また、となる、自然数が、ある時、
(エイ、だいなり、ビー、と読む。)
と書くことに定める。
定義 15 終わり
定義 16
ある定義が、矛盾なくきちんと定義できていることを、
『ウェルデファインド-である。』
と言う。
定義 16 終わり
定理 17
自然数とについて、
ととの3つのうち、1つそして1つのみが、成り立つ。
証明
1)が、成り立つ時、自然数を持ってきて、とすれば、ではなくなるし、また、とすれば、やはりではなくなるので、のときは、やは、成り立たない。
2)でない時。
私達の自然数は、を並べたものに限られるので、左辺か右辺のどちらかが、が多いのである。
2)-1)右辺の方が、多かったとしよう。この場合、足りない数だけのを、用意し、でつなぎ合わせて、自然数を作ると、となる。この時、である。
ところで、この場合、よりの方が、の数が多いので、とは、ならない。
従って、この時、とは、ならない。
2)-2)左辺の方が、多かったとしよう。この場合、2)-1)の議論と同じようにして、が、証明される。
そして、この時、とは、ならない。
3)以上により、すべての場合がつくされていて、どの2つも重ならないことが証明された。
証明終わり
麻友「『1から始める数学』の(その15)まで、一気に振り返って、さらに、手を加えたわね」
私「あの連載のクライマックスは、ゼロを作るところなんだけど、その辺りでは、あまり定義とか、定理とか、って、纏めなかったね」
若菜「ただ、その後の、『整数環』の連載や、『有理数体』の連載で、補っては、いましたけど」
私「うん。ちょっと、長くなりすぎるので、ここで、一旦投稿するよ。これから、マックへ行って、お昼を食べてくる」
麻友「暑さ、気をつけてね」
私「それじゃ、解散」
現在2020年9月3日13時03分である。おしまい。