1から始める数学

数字の1を定義するところから始めて現代数学を築きます。ブログの先頭に戻りたいときは、表題のロゴをクリックして下さい。

0から始める数学(その4)

 現在2020年9月3日10時32分である。

麻友「一応、この連載も、続けるのね」

若菜「4回目まで、来てますが、ほとんど進んでませんね」

私「今日は、早い時間から始めたから、かなり進めるつもりだ」

結弦「どういう話?」

私「以前、ドラえもんのブログで、{1+1} の省略記号として、{2} を、定義した。だけど、{1+1+1} の省略記号として、{3} を定義することなどは、やらなかった。そういう、未消化の部分を、補いたい」

麻友「このブログでは、


 定義 1    1(いち)

 月の個数は1個、あるいは、宇宙の個数は1個、などというときの、『1個』という概念を記号『1』で表し、通常『いち』と読む。

 定義 1 終わり


と、なっていた。しつこくなるから、宝塚の話は、カットよ」

若菜「ドラえもんのブログでは、


 定義 2

 新しく、『{+}』という記号を導入する。

 これを、普通、『たす』とか、『プラス』と読む。

 使い方は、後で別に定める。

 定義 2 終わり



 定義 3

 定義 1で、定義してある、『{1}』(いち)と、

 定義 2で、定義してある、『{+}』(たす)とを用いて、

{1+1}』という記号の列を作ることを許す。

 『{1+1}』を、通常『いち、たす、いち』と、読む。

 『{1+1}』が、何を表しているかは、後で別に定める。

 定義 3 終わり



 定義 4

 新しく、『{=}』という記号を導入する。

 これを、普通、『イコール』とか、『~は、…』と読む。

 使い方は、後で別に定める。

 定義 4 終わり



と、進みますね」

私「そして、イコールの使い方を定義するが、こんな風に、模様として等しければ、イコールだ、なんていう定義は、数学が進むと、通用しなくなるのだが、今は、そうしておこう」




 定義 5

 記号、

{1}

は、自然数であると定める。

 定義 5 終わり




 定義 6

 記号、

{1+1}

は、自然数であると定める。

 定義 6 終わり




 定義 7

 自然数が2つある時、その2つが、模様として同じなら、記号『{=}』で結ぶことを許す。

 つまり、自然数{A}と、{B}が、記号の並びとして同じなら、

{A=B}

と書けると定義するのである。

 定義 7 終わり



私「より一般のイコールの定義は、1から始める数学の段階から、0から始める数学の段階に移ったとき、見せるよ」

若菜「そして、やっと、{2} ですが」



 定義 8

 新しく、『{2}』という記号を導入する。

 これを、普通、『に』と読む。

 使い方は、後で別に定める。

 定義 8 終わり




 定義 9

 記号『{2}』を、『{1+1}』の省略記号であると定める。

 これにより、『{2}』と書いてあったら、本来そこには、『{1+1}』と書いてあるのだと、思うわけである。

 定義 9 終わり


私「この定義を、改造しよう」


 定義 8 (改)

 新しく、『{2,3,4,5,6,7,8,9}』という記号を導入する。

 これを、普通、『に、さん、し、ご、ろく、なな、はち、きゅう』と読む。

 使い方は、後で別に定める。

 定義 8 終わり


 定義 9 (改)

 記号『{2}』を、『{1+1}』の省略記号であると定める。

 これにより、『{2}』と書いてあったら、本来そこには、『{1+1}』と書いてあるのだと、思うわけである。

 同様に、

{3=1+1+1}

{4=1+1+1+1}

{5=1+1+1+1+1}

{6=1+1+1+1+1+1}

{7=1+1+1+1+1+1+1}

{8=1+1+1+1+1+1+1+1}

{9=1+1+1+1+1+1+1+1+1}

というように、右辺の省略記号として、左辺の数字を、定義する。

 これにより、『{7}』と書いてあったら、本来そこには、『{1+1+1+1+1+1+1}』と書いてあるのだと、思うわけである。

 定義 9 終わり


麻友「ああ、これで、{9} まで、使えるように、なったわね。じゃあ、{10} は?」

私「まだ、{0} を定義していないから、{10} とは、書けない」

結弦「でも、{10} 個の {1} の並びは、{9+1} と、書くことは、できるよね」

私「うん」

若菜「{8+2} でも、いいですね」

私「もちろん」

麻友「あっ、そうなんだ。じゃあ、{10} 以上でも、表せないことは、ないんだ」

私「そうだよ」

若菜「その後、ドラえもんのブログでは、{1+1} が、{1} とは、違うということを、導きました。イコールで、結べるのは、両辺が同じ模様のときだけだから、ということを、利用して」



 定理 10

{1+1 \neq 1}

 すなわち、

{2 \neq 1}

が、成り立つ。

 証明

{=}』の定義より。

 証明終わり


 ただし、


 定義 11

 新しく、『{\neq}』という記号を導入する。

 これを、普通、『等しくない』と読む。

 『{=}』が、成り立たない時、この記号に、置き換える。

 定義 11 終わり



麻友「この辺から、気をつけて読んでいないと、分からなくなりだしたのよね」

結弦「自然数とは、何か、足し算とは、何か、と、どんどん難しくなる」




 定義 12

 {A}{B}が、すでに自然数だと分かっているとする。

 この時、{+}の記号を用いて、

{A+B}

と書かれる記号の列は、自然数である。

 定義 12 終わり




 定義 13

 {A}{B}自然数であるとき、定義 12 により、

{A+B}

は、自然数である。

 この、{A}{B}に、{A+B}を対応させる操作を、

『エイ、たす、ビー』

という。

『エイ、と、ビー、の足し算』

とも言う。

 定義 13 終わり


若菜「そして、加法の交換法則まで、出てきた」



 定理 14

 任意の自然数{A}{B}について、

{A+B=B+A}

が、成立する。

 証明

 {A+B=B+A}ということは、等号の左辺と右辺の模様が同じということだった。

 この場合、並んでいる{1}の数が、等しいということだ。

 {A}に並んでいる{1}の数と{B}に並んでいる{1}の数は、順番を入れ換えても、変化しないはずである。

 だから、{A+B}{1}の数と{B+A}{1}の数は、等しいはずである。

 よって、{A+B=B+A}が、証明された。

 証明終わり



麻友「加法の交換法則は、この証明で、良かったの?」

私「証明という言葉を、定義することも、できるんだけど、その場合は、『これこれの立場での証明とは、こういうものである』というように、あくまでも、立場を明確にしなければ、ならない。私達は、『私達の立場での証明は、相手を納得させられる議論ができるものとする』という程度の、ある程度幅のある定義を採用していることに、なるんだ」

若菜「不等号についての、次の証明も、そういう立場ですか」

私「そうだよ」



 定義 15

 {A}{B}を、自然数とする。

 このとき、{A+C=B}となる、自然数{C}が、ある時、

{A < B}(エイ、しょうなり、ビー、と読む。)

と書くことに、定める。

 また、{A=B+C}となる、自然数{C}が、ある時、

{A > B}(エイ、だいなり、ビー、と読む。)

と書くことに定める。

 定義 15 終わり




 定義 16

 ある定義が、矛盾なくきちんと定義できていることを、

『ウェルデファインド{(\mathrm{well}}-{\mathrm{defined})}である。』

と言う。

 定義 16 終わり




 定理 17

 自然数{A}{B}について、

{A < B}{A=B}{A > B}の3つのうち、1つそして1つのみが、成り立つ。

 証明

1){A=B}が、成り立つ時、自然数{C}を持ってきて、{A+C}とすれば、{A+C=B}ではなくなるし、また、{B+C}とすれば、やはり{A=B+C}ではなくなるので、{A=B}のときは、{A < B}{A > B}は、成り立たない。

2){A=B}でない時。

私達の自然数は、{1}を並べたものに限られるので、左辺か右辺のどちらかが、{1}が多いのである。

2)-1)右辺の方が、多かったとしよう。この場合、足りない数だけの{1}を、用意し、{+}でつなぎ合わせて、自然数{C}を作ると、{A+C=B}となる。この時、{A < B}である。

 ところで、この場合、{A}より{B}の方が、{1}の数が多いので、{A=B+C}とは、ならない。

 従って、この時、{A > B}とは、ならない。

2)-2)左辺の方が、多かったとしよう。この場合、2)-1)の議論と同じようにして、{A > B}が、証明される。

 そして、この時、{A < B}とは、ならない。

3)以上により、すべての場合がつくされていて、どの2つも重ならないことが証明された。

 証明終わり



麻友「『1から始める数学』の(その15)まで、一気に振り返って、さらに、手を加えたわね」

私「あの連載のクライマックスは、ゼロを作るところなんだけど、その辺りでは、あまり定義とか、定理とか、って、纏めなかったね」

若菜「ただ、その後の、『整数環』の連載や、『有理数体』の連載で、補っては、いましたけど」

私「うん。ちょっと、長くなりすぎるので、ここで、一旦投稿するよ。これから、マックへ行って、お昼を食べてくる」

麻友「暑さ、気をつけてね」

私「それじゃ、解散」

 現在2020年9月3日13時03分である。おしまい。