現代論理学（その２４） - １から始める数学

現在2020年2月3日17時40分である。

麻友「おっ、真面目にやる気になった」

私「いつだって、真面目だよ」

若菜「真面目かどうかより、書けるだけの時間的余裕がある、ということですね」

結弦「相対性理論のブログの『「やっほー」の効果（その７）』という投稿で、お父さんが、

『「日常言語での『親が、音楽教育を早期から始めたならば、モーツァルトのような天才が生まれる』というときの『ならば』と、数学での『正三角形ならば、二等辺三角形である』というときの『ならば』は、違うことを、次の本で知った」』

と言って、

圏論の歩き方

日本評論社

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という本を、あげている」

私「そうだ。論理学を始める前に、そのことを、書いておかないとね」

麻友「どういう話なの？」

私「上の、『圏論の歩き方』という本の、『第12章すべての人に矢印を』という章で、こんなことが、書かれている」

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これらの「見えない矢印」は,実にさまざまの意味を持っています.中でも重要なのは,矢印 ${A \rightarrow B}$ が,

${A}$ があるから ${B}$ がある／ ${A}$ がなければ ${B}$ がない

を意味する場合ではないでしょうか.実際,先ほど述べた「代謝のネットワーク」や「遺伝子発現の機構」にはこの種の矢印がふんだんに存在しています.

これは,一見数学における「 ${A}$ ならば ${B}$ 」と似ているようでありながら,異なるものです（むしろ「反対向き」であり,かつ,「順序」や「時間」といったことを捨象しない立場）.

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（『圏論の歩き方』207ページから、抜粋）

結弦「代謝とか、遺伝子発現とか、生物学の話じゃない」

若菜「数学の本に、そんなことが、書いてあるのですか？」

私「生物学科の学生を教えている、数学の先生が、例としてあげている」

麻友「例だから、生物学での意味が、分かってなくても、いいのよね。そうでしょ、太郎さん？」

私「その通りだ。ところで、3人は、ブルバキとランダウのブログの『数学原論（その１０）』の投稿で、次のような、真理表を ${\bigcirc,\times}$ で埋めたのを、覚えているだろうか？」

${\begin{array}{c|c|c|c|c|c} A & B & A \Rightarrow B & nonA & B & (nonA) ou B\\ \bigcirc &\bigcirc & \bigcirc & \times & \bigcirc & \bigcirc \\ \bigcirc & \times & \times & \times & \times & \times \\ \times & \bigcirc & \bigcirc & \bigcirc & \bigcirc & \bigcirc \\ \times & \times & \bigcirc & \bigcirc & \times & \bigcirc \\ \end{array}}$

結弦「やったねー。ほとんど忘れてたけど」

麻友「これ見るまで、忘れてたわ」

若菜「確か、 ${A \Rightarrow B}$ と ${(nonA) ou B}$ が、同値だと示したかった」

私「一部分だけ、持ってこよう」

＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊

若菜「 ${A \Rightarrow B}$ と、 ${(nonA) ou B}$ が、なぜ同じなんですか？」

　これは、結構、難しいんだ。

　真偽表というものを、書かないと、理解しにくい。

　まず、 ${A}$ と ${B}$ が、それぞれ、正しい（◯）か、正しくない（✕）かの、どちらかで、あるとしよう。

${\begin{array}{c|c|c|c|c|c} A & B & A \Rightarrow B & nonA & B & (nonA) ou B\\ \bigcirc &\bigcirc &&&&\\ \bigcirc & \times &&&&\\ \times & \bigcirc &&&&\\ \times & \times &&&&\\ \end{array}}$

という表の、 ${A}$ と ${B}$ が、それぞれ正しい（◯）か、正しくない（✕）のとき、表の右の空欄を、埋められるか？

結弦「 ${A \Rightarrow B}$ は、 ${A}$ が成り立てば、 ${B}$ が成り立つなんでしょ。だったら、 ${A}$ が成り立って、 ${B}$ も成り立ってる場合は、正しいことを言ってることになるから、 ${A \Rightarrow B}$ のすぐ下は、◯だ」

若菜「同じように考えると、 ${A}$ が成り立っているのに、 ${B}$ が成り立たない場合は、 ${A \Rightarrow B}$ は、正しくないことを言ってるので、✕ですね」

${\begin{array}{c|c|c|c|c|c} A & B & A \Rightarrow B & nonA & B & (nonA) ou B\\ \bigcirc &\bigcirc & \bigcirc &&&\\ \bigcirc & \times & \times &&&\\ \times & \bigcirc &&&&\\ \times & \times &&&&\\ \end{array}}$

「ほらほら、こうなるのよ。私が、難しい問題を、解かされる。 ${A}$ が、成り立たない場合なんて、 ${A \Rightarrow B}$ は、どう考えればいいのよ。太郎さん」

　うん。特待生でも、解けないか。条件を、丁寧に、チェックする。 ${A \Rightarrow B}$ は、 ${A}$ が、成り立つ場合のことを、書いてる。だから、 ${A}$ が成り立たないなら、問題はなく、スルーできる。

「スルーするって、この場合、どうすること？」

　◯にするってこと。

「えっ、でも、✕の可能性は？」

　✕に、できないだろ。

「✕にできないから、◯にするって、いつもの太郎さんののんきな判断で、良いのかしら。他の論理学の本、見てみようかしら？」

　やめた方が良い。

　先日、相対性理論のブログの『プリン君のシャーペン』という投稿で、読んでいると書いた、『直観主義的集合論』

竹内外史『直観主義的集合論』（紀伊國屋書店）

OD>直観主義的集合論 (紀伊國屋数学叢書 20)

作者:竹内外史
紀伊國屋書店

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は、日本で唯一の、いや世界でも珍しい、直観主義的集合論の本で、そこでは、

『Ａが正しい』

ということを、

『Ａを確認する方法をもっている』

と、捉え直すことで、新しい数学を、作っている。

　だから、その本では、

${A \rightarrow B}$

は、

『Ａを確認する方法が与えられたときに，その方法をもとにしてＢを確認する方法を作る方法をもっている』

と定義される。

　思いっきり書いちゃうけど、

${(\neg A \vee B) \Longrightarrow (A \rightarrow B)}$

は、成立するけど、

${(A \rightarrow B) \Longrightarrow (\neg A \vee B)}$

は必ずしも成立しない。

「そうなると、どうなるの？」

　本当に、否定の否定が肯定にならない論理となる。

若菜「どうして、そんな本読んでたんですか？」

　自分のやっている数学が、本当に、真理を穿ったものだろうかと、ちょっと、心配だったんだ。

結弦「でも、数学自体が、矛盾するとか、そういうことは、ないんでしょ」

　おお、良いこと言うじゃないか。ブルバキは、数学自体が矛盾するということに対して、どういう意見だったか、『第１章を読むための注意』の後の、『序』の最後に、ブルバキの見解がある。

若菜「楽しみですね」

「さっきの ${\rightarrow}$ と、 ${\Longrightarrow}$ の違いは？」

　 ${\rightarrow}$ の方は、私達が、『現代論理学』を読んで行くときや、ＮＫとＢＧの要約の中の私の記述での ${\Rightarrow}$ と、同じ使われ方をしていて、 ${\Longrightarrow}$ の方は、 ${A \Longrightarrow B}$ が、正しいという主張のときだけ、使うのだと、竹内外史さんが、書いている。

「なんだ、太郎さんも、分かってないのか」

　完璧には、分かってない。

　いずれにせよ、排中律という、 ${A \vee \neg A}$ という ${A}$ か、または、その否定 ${\neg A}$ というものの、どちらかが成り立つと仮定しないと、数学は翼を持って、飛ぶことができない。

『翼はいらない』

という歌もあったけど、麻友さんのように、

♪その背中に、夢の翼（はね）が、生えてる

人達は、どんどん飛翔して、上から全体像をつかめ。

「そうだとすると、

${\begin{array}{c|c|c|c|c|c} A & B & A \Rightarrow B & nonA & B & (nonA) ou B\\ \bigcirc &\bigcirc & \bigcirc &&&\\ \bigcirc & \times & \times &&&\\ \times & \bigcirc & \bigcirc &&&\\ \times & \times & \bigcirc &&&\\ \end{array}}$

と、なるわね」

　結弦、次の２行、埋めてみろ。

結弦「こんなの、簡単」

${\begin{array}{c|c|c|c|c|c} A & B & A \Rightarrow B & nonA & B & (nonA) ou B\\ \bigcirc &\bigcirc & \bigcirc & \times & \bigcirc &\\ \bigcirc & \times & \times & \times & \times &\\ \times & \bigcirc & \bigcirc & \bigcirc & \bigcirc &\\ \times & \times & \bigcirc & \bigcirc & \times &\\ \end{array}}$

　じゃあ、若菜。最後の行。

若菜「はい。どっちかが◯なら◯を付けて良いんですね」

　おお、できたな。

「これで、何をやりたかったの？」

　若菜の

『 ${A \Rightarrow B}$ と、 ${(nonA) ou B}$ が、なぜ同じなんですか？』

という問いに答えるのが、目標だった。

　若菜、最後の行、埋めて、何か感じなかったか？

若菜「最後の行の、◯✕の並びが、 ${A \Rightarrow B}$ と、まったく同じです。だから、この２つを、同じとして良いんだと分かりました」

　お母さんに似て、賢い子だ。

＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
（ブルバキとランダウのブログの『数学原論（その１０）の投稿より）

麻友「あのときも、矢印は、色々問題になったのよね」

私「まず、混乱させないように、きちんと、結論を書いておこう。私の数学の立場では、

${A \Rightarrow B}$

と

${\neg A \vee B}$

は、同じ真理値を持つので、 ${A \Rightarrow B}$ は、 ${\neg A \vee B}$ だと定義しても良いのだと、信じていて良い」

麻友「太郎さんを、信じることほど、危ないことは、ないのよね」

若菜「数学者くずれ、ですか？」

私「まあ、信じなくてもいいよ。手の内は、全部見せるから、自分で判断してくれ。それよりも、今回出てきた、

＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊

これらの「見えない矢印」は,実にさまざまの意味を持っています.中でも重要なのは,矢印 ${A \rightarrow B}$ が,

${A}$ があるから ${B}$ がある／ ${A}$ がなければ ${B}$ がない

＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊

の、矢印を、真理表（真偽表ともいう）で、書いてみてくれ。これで、書きにくかったら『親が、音楽教育を早期から始めたならば、モーツァルトのような天才が生まれる』を、例に取りながら、

原因があるから、結果がある

因 ${\rightarrow}$ 果

原因がなければ、結果がない

の、因が、 ${A}$ で、果が、 ${B}$ だとして、 ${\bigcirc,\times}$ をつけてごらん」

結弦「まず、 ${A}$ が、 ${\bigcirc}$ のときは、原因があるとき、その場合、結果があれば、つまり ${B}$ が、 ${\bigcirc}$ ならば、『原因があるから、結果がある』を、満たすから、 ${A \rightarrow B}$ の下の1段目は、 ${\bigcirc}$ となる。

${\begin{array}{c|c|c} A & B & A \rightarrow B \\ \bigcirc &\bigcirc & \bigcirc \\ \bigcirc & \times & \\ \times & \bigcirc & \\ \times & \times & \\ \end{array}}$

こうなる」

若菜「私にもやらせて、原因があって、結果がないとき、その場合、『原因があるから、結果がある』は、成り立ってない。この場合、 ${\times}$ だから、

${\begin{array}{c|c|c} A & B & A \rightarrow B \\ \bigcirc &\bigcirc & \bigcirc \\ \bigcirc & \times & \times \\ \times & \bigcirc & \\ \times & \times & \\ \end{array}}$

だと思う」

麻友「その次の場合を、前回太郎さんは、 ${\times}$ にできないだろう、などと、のんきなことを言って、 ${\bigcirc}$ にした。私が、他の本も見てみようかしら、と言ったら、やめた方が良いと言った。でも、今度は、食い下がるわよ。『原因がなければ、結果がない』なんだから、『原因がないのに、結果がある』というのは、反対のことを言ってる。だから、 ${A \rightarrow B}$ の下の3段目は、 ${\times}$ となる。

${\begin{array}{c|c|c} A & B & A \rightarrow B \\ \bigcirc &\bigcirc & \bigcirc \\ \bigcirc & \times & \times \\ \times & \bigcirc & \times \\ \times & \times & \ \\ \end{array}}$

どうよ、太郎さん」

私「そこだけが、数学の場合の『ならば』と、日常の『ならば』の違うところなんだよね」

麻友「残った、1つは？」

結弦「僕が、やってあげるよ。原因がなくて結果もないんだから、『原因がなければ、結果がない』に、そのまま当てはまって、 ${\bigcirc}$ になる。だから、

${\begin{array}{c|c|c} A & B & A \rightarrow B \\ \bigcirc &\bigcirc & \bigcirc \\ \bigcirc & \times & \times \\ \times & \bigcirc & \times \\ \times & \times & \bigcirc \\ \end{array}}$

が、最終的結果」

私「それ、やってみて、なにか、気付かないか？」

若菜「そうですねえ。お父さんのと、違いますね。ブルバキとも、現代論理学とも、違いますね」

結弦「これって、別なもので、なかった？」

麻友「あっ、同値！そうよ、『 ${\equiv}$ 』の真偽表

${\begin{array}{c|c|c} A & B & A \equiv B \\ \bigcirc &\bigcirc & \bigcirc \\ \bigcirc & \times & \times \\ \times & \bigcirc & \times \\ \times & \times & \bigcirc \\ \end{array}}$

と、同じだわ」

私「そういうことなんだよ」

麻友「そういうことって？」

私「普通の人が、日常使っている論理は、モーツァルトのような天才を作りたい。じゃあ、モーツァルトのような天才が生まれる原因を探ろうと調べ、こうすれば、モーツァルトのような天才が生まれるはずだ、と頑張る。でも、結局モーツァルトを作るには、モーツァルトのときとまったく同じことを、しなければならないと、気付く。要するに、結果と同値なことを、原因として持ってこなければ、ならないということなんだ」

結弦「うっ、さすが、数学の天才を豪語する、お父さんの言うことは、重い」

若菜「お母さん。お母さんも天才なら、お父さんのこと、もう少し大事にしなきゃ」

麻友「太郎さん。大事にして欲しくて、この投稿書いたの？」

私「麻友さん、まだ会ってもくれないのかなあ？と、首を長くしてる」

結弦「それで、この矢印が、同値と同じ、真偽表を満たすから、同じものとしていいの？」

私「それは、認められないだろう。その問いを解く鍵は、原因と結果の間には、時間のへだたりがあるということなんだ」

若菜「『圏論の歩き方』にも、『「順序」や「時間」といったことを捨象しない立場』と、ありました」

私「そう。数学の場合、時間が経ったら、正しかったものが、正しくなくなるということは、ないけど、人間の場合、そういうことは、日常茶飯事だ。考え方が、全然違う」

麻友「太郎さんは、その日常の矢印の研究は、してないの？」

私「多分、哲学者の人達というのは、そういうことを、大好きな人達なんじゃないかなあ。あの女の子、どうなった？」

麻友「余り、そういうことは、聞かない方が、いいわ。試験は水物というし」

若菜「お父さん。他の人まで、気にしている場合ですか。それより、お父さんが、今後使う、矢印『 ${A \Rightarrow B }$ 』は、『 ${\neg A \vee B }$ 』と、同値なもの、とするんですね」